x軸上を等加速度直線運動する物体が、原点を時刻0sに通過した後の8.0秒間の速度と時間の関係を示すv-tグラフが与えられています。 (1) 物体の加速度 $a$ を求めます。 (2) 物体が原点から最も遠ざかるときの時刻 $t$ と、その位置 $x_1$ を求めます。 (3) 8.0秒後の物体の位置 $x_2$ を求めます。 (4) 経過時間 $t$ と物体の位置 $x$ の関係をグラフに表します。

1. 問題の内容

x軸上を等加速度直線運動する物体が、原点を時刻0sに通過した後の8.0秒間の速度と時間の関係を示すv-tグラフが与えられています。

(1) 物体の加速度 $a$ を求めます。

(2) 物体が原点から最も遠ざかるときの時刻 $t$ と、その位置 $x_1$ を求めます。

(3) 8.0秒後の物体の位置 $x_2$ を求めます。

(4) 経過時間 $t$ と物体の位置 $x$ の関係をグラフに表します。

2. 解き方の手順

(1) 加速度 $a$ はv-tグラフの傾きから求められます。

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

グラフから、初期速度 $v_0 = 20 \ m/s$、8.0秒後の速度 $v_8 = -12 \ m/s$ であることがわかります。

したがって、加速度は

$a = \frac{-12 - 20}{8.0} = \frac{-32}{8.0} = -4.0 \ m/s^2$

(2) 物体が原点から最も遠ざかるのは、速度が0になるときです。等加速度運動の式 $v = v_0 + at$ より、

$0 = 20 + (-4.0)t$

$4.0t = 20$

$t = 5.0 \ s$

このときの物体の位置 $x_1$ は、等加速度運動の式 $x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ より、

$x_1 = 20(5.0) + \frac{1}{2}(-4.0)(5.0)^2 = 100 - 50 = 50 \ m$

(3) 8.0秒後の物体の位置 $x_2$ は、

$x_2 = 20(8.0) + \frac{1}{2}(-4.0)(8.0)^2 = 160 - 128 = 32 \ m$

(4) 経過時間 $t$ と物体の位置 $x$ の関係は、$x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 20t - 2t^2$ となります。

これは下に凸の二次関数であり、頂点の座標は $(5, 50)$ です。

$t = 0$ のとき $x = 0$ であり、$t = 8$ のとき $x = 32$ です。

この情報からグラフを描画します。

3. 最終的な答え

(1) 加速度 $a = -4.0 \ m/s^2$

(2) 時刻 $t = 5.0 \ s$, 位置 $x_1 = 50 \ m$

(3) 位置 $x_2 = 32 \ m$

(4) グラフ: 二次関数 $x = 20t - 2t^2$ のグラフ（0 <= t <= 8)