質量 $M$ の物体Aと質量 $m$ の物体Bが、定滑車を通して繋がれている。物体Bは地面にあり、物体Aは高さ $h$ の位置にある。$M > m$ であり、重力加速度の大きさを $g$ とする。物体Aを静かに離したとき、以下の値を求めよ。 (1) Aの加速度の大きさ $a$ (2) Aをつるしている糸1の張力の大きさ $T$ (3) 滑車をつるしている糸2の張力の大きさ $S$ (4) Aが地面に達するまでの時間 $t$ と、そのときのAの速さ $v$

1. 問題の内容

質量 $M$ の物体Aと質量 $m$ の物体Bが、定滑車を通して繋がれている。物体Bは地面にあり、物体Aは高さ $h$ の位置にある。$M > m$ であり、重力加速度の大きさを $g$ とする。物体Aを静かに離したとき、以下の値を求めよ。

(1) Aの加速度の大きさ $a$

(2) Aをつるしている糸1の張力の大きさ $T$

(3) 滑車をつるしている糸2の張力の大きさ $S$

(4) Aが地面に達するまでの時間 $t$ と、そのときのAの速さ $v$

2. 解き方の手順

(1) 物体Aと物体Bの運動方程式を立てる。物体Aには重力 $Mg$ と張力 $T$ が働き、物体Bには重力 $mg$ と張力 $T$ が働く。Aの加速度を下向きに $a$ とすると、Bの加速度は上向きに $a$ となる。

物体Aの運動方程式:

$Ma = Mg - T$

物体Bの運動方程式:

$ma = T - mg$

2つの式を足し合わせると、

$Ma + ma = Mg - mg$

$(M+m)a = (M-m)g$

$a = \frac{M-m}{M+m}g$

(2) 加速度 $a$ が求まったので、運動方程式のいずれかに代入して張力 $T$ を求める。ここでは物体Bの運動方程式を使用する。

$T = ma + mg = m(a+g) = m(\frac{M-m}{M+m}g + g) = m(\frac{M-m+M+m}{M+m}g) = \frac{2Mm}{M+m}g$

(3) 糸2は滑車を支えており、滑車は糸1によってAとBを支えている。したがって、糸2の張力 $S$ は糸1の張力 $T$ の2倍に等しい。

$S = 2T = 2(\frac{2Mm}{M+m}g) = \frac{4Mm}{M+m}g$

(4) 物体Aは初速度0で加速度 $a$ で距離 $h$ だけ落下するので、等加速度運動の公式を用いる。

$h = \frac{1}{2}at^2$

$t = \sqrt{\frac{2h}{a}} = \sqrt{\frac{2h}{\frac{M-m}{M+m}g}} = \sqrt{\frac{2h(M+m)}{(M-m)g}}$

また、速度 $v$ は

$v = at = \frac{M-m}{M+m}g\sqrt{\frac{2h(M+m)}{(M-m)g}} = \sqrt{\frac{(M-m)^2}{(M+m)^2}g^2\frac{2h(M+m)}{(M-m)g}} = \sqrt{\frac{2hg(M-m)}{M+m}}$

3. 最終的な答え

(1) Aの加速度の大きさ $a = \frac{M-m}{M+m}g$

(2) 糸1の張力の大きさ $T = \frac{2Mm}{M+m}g$

(3) 糸2の張力の大きさ $S = \frac{4Mm}{M+m}g$

(4) Aが地面に達するまでの時間 $t = \sqrt{\frac{2h(M+m)}{(M-m)g}}$、そのときの速さ $v = \sqrt{\frac{2hg(M-m)}{M+m}}$