野球の打者が、水平方向に時速144kmで飛んできたボールを打ちました。ボールは初速度35m/s、仰角45°で飛んでいきました。バットがボールに与えた力積の向きと大きさを求める問題です。ボールの質量は145gとします。

1. 問題の内容

野球の打者が、水平方向に時速144kmで飛んできたボールを打ちました。ボールは初速度35m/s、仰角45°で飛んでいきました。バットがボールに与えた力積の向きと大きさを求める問題です。ボールの質量は145gとします。

2. 解き方の手順

(1) ボールの初速度をm/s単位に変換します。

$v_1 = 144 \text{ km/h} = 144 \times \frac{1000}{3600} \text{ m/s} = 40 \text{ m/s}$

ボールの質量をkg単位に変換します。

$m = 145 \text{ g} = 0.145 \text{ kg}$

(2) 打った後のボールの速度ベクトルを成分表示します。仰角が45°なので、水平方向と鉛直方向の速度成分は等しくなります。

$v_2 = 35 \text{ m/s}$ なので、

$v_{2x} = v_2 \cos 45^\circ = 35 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ m/s} \approx 24.75 \text{ m/s}$

$v_{2y} = v_2 \sin 45^\circ = 35 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ m/s} \approx 24.75 \text{ m/s}$

(3) 力積は運動量の変化に等しいので、

$J = m(v_2 - v_1)$

水平方向の力積：

$J_x = m(v_{2x} - v_{1x}) = 0.145(24.75 - (-40)) = 0.145(64.75) \approx 9.39 \text{ Ns}$

鉛直方向の力積：

$J_y = m(v_{2y} - v_{1y}) = 0.145(24.75 - 0) = 0.145(24.75) \approx 3.59 \text{ Ns}$

(4) 力積の大きさ：

$|J| = \sqrt{J_x^2 + J_y^2} = \sqrt{9.39^2 + 3.59^2} = \sqrt{88.1721 + 12.8881} = \sqrt{101.0602} \approx 10.05 \text{ Ns}$

(5) 力積の向き：

$\theta = \arctan\left(\frac{J_y}{J_x}\right) = \arctan\left(\frac{3.59}{9.39}\right) \approx \arctan(0.3823) \approx 20.9^\circ$

3. 最終的な答え

力積の大きさ：約10.05 Ns

力積の向き：水平方向から約20.9°の角度