実数 $x, y$ が $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ を満たしながら変化するとき、$(x-1)^2 + 4(y-1)^2$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ を満たしながら変化するとき、$(x-1)^2 + 4(y-1)^2$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、楕円 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ 上の点 $(x, y)$ をパラメータ表示する。

$x = 4\cos\theta, y = 2\sin\theta$ とおくと、与えられた式は

$(4\cos\theta - 1)^2 + 4(2\sin\theta - 1)^2 = 16\cos^2\theta - 8\cos\theta + 1 + 4(4\sin^2\theta - 4\sin\theta + 1) = 16\cos^2\theta - 8\cos\theta + 1 + 16\sin^2\theta - 16\sin\theta + 4 = 16(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 8\cos\theta - 16\sin\theta + 5 = 16 - 8\cos\theta - 16\sin\theta + 5 = 21 - 8\cos\theta - 16\sin\theta$

となる。

ここで、$f(\theta) = 21 - 8\cos\theta - 16\sin\theta$ とおくと、この関数の最大値と最小値を求めればよい。

$f(\theta) = 21 - (8\cos\theta + 16\sin\theta)$

$8\cos\theta + 16\sin\theta = R\sin(\theta + \alpha)$ となる $R, \alpha$ を求める。

$R = \sqrt{8^2 + 16^2} = \sqrt{64 + 256} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$

よって、

$f(\theta) = 21 - 8\sqrt{5}\sin(\theta + \alpha)$

$-1 \le \sin(\theta + \alpha) \le 1$ より、

$-8\sqrt{5} \le 8\sqrt{5}\sin(\theta + \alpha) \le 8\sqrt{5}$

$-8\sqrt{5} \le -8\sqrt{5}\sin(\theta + \alpha) \le 8\sqrt{5}$

$21 - 8\sqrt{5} \le f(\theta) \le 21 + 8\sqrt{5}$

最大値は $21 + 8\sqrt{5}$、最小値は $21 - 8\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

最大値：$21 + 8\sqrt{5}$

最小値：$21 - 8\sqrt{5}$