$a, b, c$ は $a>1, b>1, c>1$ を満たす正の実数である。 (1) 次の等式 $\log_b c \cdot \log_c a \cdot \log_a b = 1$ を証明する。 (i) $a=2, b=8, c=\frac{2}{3}$ のとき、$\log_b c = \boxed{ア}$ , $\log_c a = \boxed{イ}$ である。 (ii) $a=2, b=6, c=3$ のとき、$\log_b a, \log_c b, \log_a c$ を $\log_3$ を用いて表す。$X = \log_3 2$ とおくと、$\log_b a = \boxed{ウ}$, $\log_c b = \boxed{エ}$, $\log_a c = \boxed{オ}$ である。 (iii) $r$ が $a^{r}=c$ を満たす実数であるとする。$b = a^{log_a b}, c = a^{log_a c}$ を代入することにより、$\boxed{カ}$ が得られ、一般に等式が成り立つことが確かめられる。 $\boxed{ウ} \sim \boxed{オ}$ の解答群から選択。 $\boxed{カ}$ の解答群から選択。

## 第2問 (1)

1. **問題の内容**

$a, b, c$ は $a>1, b>1, c>1$ を満たす正の実数である。

(1) 次の等式 $\log_b c \cdot \log_c a \cdot \log_a b = 1$ を証明する。

(i) $a=2, b=8, c=\frac{2}{3}$ のとき、$\log_b c = \boxed{ア}$ , $\log_c a = \boxed{イ}$ である。

(ii) $a=2, b=6, c=3$ のとき、$\log_b a, \log_c b, \log_a c$ を $\log_3$ を用いて表す。$X = \log_3 2$ とおくと、$\log_b a = \boxed{ウ}$, $\log_c b = \boxed{エ}$, $\log_a c = \boxed{オ}$ である。

(iii) $r$ が $a^{r}=c$ を満たす実数であるとする。$b = a^{log_a b}, c = a^{log_a c}$ を代入することにより、$\boxed{カ}$ が得られ、一般に等式が成り立つことが確かめられる。

$\boxed{ウ} \sim \boxed{オ}$ の解答群から選択。

$\boxed{カ}$ の解答群から選択。

2. **解き方の手順**

(i) $\log_b c = \log_8 \frac{2}{3} = \frac{\log_2 \frac{2}{3}}{\log_2 8} = \frac{\log_2 2 - \log_2 3}{3} = \frac{1-\log_2 3}{3}$ となる。計算ミスを防ぐために、解答欄に合うように計算する。

$\log_c a = \log_{\frac{2}{3}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 \frac{2}{3}} = \frac{1}{\log_2 2 - \log_2 3} = \frac{1}{1-\log_2 3}$ となる。

ここで$\log_b c \cdot \log_c a = \frac{1-\log_2 3}{3} \cdot \frac{1}{1-\log_2 3} = \frac{1}{3}$ となる。

$\log_a b = \log_2 8 = 3$ であるので、$\log_b c \cdot \log_c a \cdot \log_a b = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ となり成り立つ。

(ii) $\log_b a = \log_6 2 = \frac{\log_3 2}{\log_3 6} = \frac{\log_3 2}{\log_3 2 + \log_3 3} = \frac{X}{X+1}$

$\log_c b = \log_3 6 = \log_3 2 + \log_3 3 = X+1$

$\log_a c = \log_2 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 2} = \frac{1}{X}$

(iii) $b = a^{log_a b}, c = a^{r}$ を $\log_b c \cdot \log_c a \cdot \log_a b = 1$ に代入する。

$\log_{a^{log_a b}} a^r \cdot \log_{a^r} a \cdot \log_a a^{log_a b} = 1$

$\frac{r}{log_a b} \cdot \frac{1}{r} \cdot \log_a b = 1$

$1=1$

または、

$b = a^{log_a b}, c = a^{log_a c}$ を $a^{r} = c$ に代入する。

$a^{r} = a^{log_a c}$ より $r = log_a c$

$\log_b c \cdot \log_c a \cdot \log_a b = \frac{\log a}{\log b} \cdot \frac{\log a}{\log c} \cdot \frac{\log b}{\log a} = 1$

3. **最終的な答え**

ア: $\frac{1}{3}$

イ: 3

ウ: $\frac{X}{1+X}$ (選択肢: ①)

エ: $1+X$ (選択肢: ①)

オ: $\frac{1}{X}$ (選択肢: ③)

カ: $r = log_a c$ (選択肢: (1))

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## 第2問 (2)

画像が不鮮明なため省略します。

## 第3問 (1)

画像が不鮮明なため省略します。