与えられた数列の和を計算する問題です。 具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2k+3)k$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算する問題です。

具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2k+3)k$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、和の記号の中身を展開します。

$(2k-1)(2k+3)k = (4k^2+6k-2k-3)k = (4k^2+4k-3)k = 4k^3+4k^2-3k$

したがって、求める和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} (4k^3+4k^2-3k) = 4\sum_{k=1}^{n} k^3 + 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k$

ここで、以下の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

これらの公式を代入すると、

$4\sum_{k=1}^{n} k^3 + 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k = 4\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3\frac{n(n+1)}{2}$

$= 4\frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{3n(n+1)}{2}$

$= n^2(n+1)^2 + \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{3n(n+1)}{2}$

$= n(n+1)\left[n(n+1) + \frac{2(2n+1)}{3} - \frac{3}{2}\right]$

$= n(n+1)\left[n^2+n + \frac{4n+2}{3} - \frac{3}{2}\right]$

$= n(n+1)\left[n^2+n + \frac{8n+4-9}{6}\right]$

$= n(n+1)\left[n^2+n + \frac{8n-5}{6}\right]$

$= n(n+1)\left[\frac{6n^2+6n+8n-5}{6}\right]$

$= \frac{n(n+1)(6n^2+14n-5)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(6n^2+14n-5)}{6}$