$a$ と $b$ は正の実数である。2次関数 $y = x^2 + (2a - b)x + a^2 + 1$ のグラフ $G$ の頂点の座標を求める。

1. 問題の内容

$a$ と $b$ は正の実数である。2次関数 $y = x^2 + (2a - b)x + a^2 + 1$ のグラフ $G$ の頂点の座標を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成させることで、頂点の座標を求める。

まず、$y = x^2 + (2a - b)x + a^2 + 1$ を変形する。

平方完成のために、$(2a - b)$ の半分の2乗を足して引く。

$y = \left[x^2 + (2a - b)x + \left(\frac{2a - b}{2}\right)^2\right] - \left(\frac{2a - b}{2}\right)^2 + a^2 + 1$

$y = \left(x + \frac{2a - b}{2}\right)^2 - \frac{(2a - b)^2}{4} + a^2 + 1$

$y = \left(x + \frac{2a - b}{2}\right)^2 - \frac{4a^2 - 4ab + b^2}{4} + a^2 + 1$

$y = \left(x + \frac{2a - b}{2}\right)^2 - a^2 + ab - \frac{b^2}{4} + a^2 + 1$

$y = \left(x + \frac{2a - b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4} + ab + 1$

頂点の $x$ 座標は $-\frac{2a - b}{2} = -\frac{2a}{2} + \frac{b}{2} = -a + \frac{b}{2} = \frac{b}{2} - a$

頂点の $y$ 座標は $-\frac{b^2}{4} + ab + 1$

したがって、頂点の座標は $\left(\frac{b}{2} - a, -\frac{b^2}{4} + ab + 1\right)$ である。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 1

したがって、グラフ $G$ の頂点の座標は $\left(\frac{b}{2} - a, -\frac{b^2}{4} + ab + 1\right)$ である。