(1) 関数 $y = -x^2 + 2ax$ (定義域 $0 \le x \le 2$) の最大値を、次の3つの場合に分けて求める。 (i) $a < 0$ (ii) $0 \le a \le 2$ (iii) $2 < a$ (2) 関数 $y = x^2 - 4x$ (定義域 $a \le x \le a+1$) の最小値を、次の3つの場合に分けて求める。 (i) $a < 1$ (ii) $1 \le a \le 2$ (iii) $2 < a$

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = -x^2 + 2ax$ (定義域 $0 \le x \le 2$) の最大値を、次の3つの場合に分けて求める。

(i) $a < 0$

(ii) $0 \le a \le 2$

(iii) $2 < a$

(2) 関数 $y = x^2 - 4x$ (定義域 $a \le x \le a+1$) の最小値を、次の3つの場合に分けて求める。

(i) $a < 1$

(ii) $1 \le a \le 2$

(iii) $2 < a$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた関数 $y = -x^2 + 2ax$ を平方完成する。

$y = -(x^2 - 2ax) = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) = -(x - a)^2 + a^2$

よって、この放物線の頂点は $(a, a^2)$ である。上に凸な放物線である。定義域は $0 \le x \le 2$ である。

(i) $a < 0$ のとき、頂点は $x < 0$ にある。定義域内で $x$ が大きくなるほど $y$ は小さくなるので、$x=0$ で最大値をとる。

$x = 0$ を代入すると $y = -0^2 + 2a(0) = 0$

最大値は $0$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、頂点は定義域内にある。頂点で最大値をとる。

$x = a$ を代入すると $y = -(a-a)^2 + a^2 = a^2$

最大値は $a^2$

(iii) $2 < a$ のとき、頂点は $x > 2$ にある。定義域内で $x$ が小さくなるほど $y$ は小さくなるので、$x=2$ で最大値をとる。

$x = 2$ を代入すると $y = -2^2 + 2a(2) = -4 + 4a = 4a - 4$

最大値は $4a - 4$

(2)

与えられた関数 $y = x^2 - 4x$ を平方完成する。

$y = x^2 - 4x = x^2 - 4x + 4 - 4 = (x-2)^2 - 4$

よって、この放物線の頂点は $(2, -4)$ である。下に凸な放物線である。定義域は $a \le x \le a+1$ である。

(i) $a < 1$ のとき、定義域は $a < 1 \le x \le a+1 < 2$ となり、頂点は定義域の外にある。定義域内で $x$ が小さくなるほど $y$ は小さくなるので、$x = a+1$ で最小値をとる。

$x = a+1$ を代入すると $y = (a+1)^2 - 4(a+1) = a^2 + 2a + 1 - 4a - 4 = a^2 - 2a - 3$

最小値は $a^2 - 2a - 3$

(ii) $1 \le a \le 2$ のとき、定義域は $1 \le a \le x \le a+1 \le 3$ となり、頂点は定義域内にある。頂点で最小値をとる。

$x = 2$ を代入すると $y = (2-2)^2 - 4 = -4$

最小値は $-4$

(iii) $2 < a$ のとき、定義域は $2 < a \le x \le a+1$ となり、頂点は定義域の外にある。定義域内で $x$ が大きくなるほど $y$ は小さくなるので、$x = a$ で最小値をとる。

$x = a$ を代入すると $y = a^2 - 4a$

最小値は $a^2 - 4a$

3. 最終的な答え

(1)

(i) $a < 0$ のとき、最大値は $0$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、最大値は $a^2$

(iii) $2 < a$ のとき、最大値は $4a - 4$

(2)

(i) $a < 1$ のとき、最小値は $a^2 - 2a - 3$

(ii) $1 \le a \le 2$ のとき、最小値は $-4$

(iii) $2 < a$ のとき、最小値は $a^2 - 4a$