$\frac{7}{3+\sqrt{2}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $a$ と $b$ の値を求めよ。 (2) $a^2 - 8ab + 2b^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{7}{3+\sqrt{2}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $a$ と $b$ の値を求めよ。

(2) $a^2 - 8ab + 2b^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{7}{3+\sqrt{2}}$ を有理化します。分母と分子に $3-\sqrt{2}$ をかけます。

$$\frac{7}{3+\sqrt{2}} = \frac{7(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})} = \frac{7(3-\sqrt{2})}{9-2} = \frac{7(3-\sqrt{2})}{7} = 3-\sqrt{2}$$

$\sqrt{2}$ は $1 < \sqrt{2} < 2$ を満たすので、整数部分は1です。より正確には、$1.4 < \sqrt{2} < 1.5$ です。

したがって、

$3-2 < 3-\sqrt{2} < 3-1$

$1 < 3-\sqrt{2} < 2$

よって、$\frac{7}{3+\sqrt{2}}$ の整数部分 $a$ は 1 です。つまり、$a=1$。

小数部分 $b$ は、元の数から整数部分を引いたものです。

$$b = (3-\sqrt{2}) - a = (3-\sqrt{2}) - 1 = 2-\sqrt{2}$$

(2) $a^2 - 8ab + 2b^2$ の値を求めます。$a=1$, $b=2-\sqrt{2}$ を代入します。

\begin{align*} a^2 - 8ab + 2b^2 &= 1^2 - 8(1)(2-\sqrt{2}) + 2(2-\sqrt{2})^2 \\ &= 1 - 8(2-\sqrt{2}) + 2(4 - 4\sqrt{2} + 2) \\ &= 1 - 16 + 8\sqrt{2} + 2(6 - 4\sqrt{2}) \\ &= 1 - 16 + 8\sqrt{2} + 12 - 8\sqrt{2} \\ &= -3 \end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $a=1$, $b=2-\sqrt{2}$

(2) $a^2 - 8ab + 2b^2 = -3$