与えられた式 $a^2b - a^2 + 3a - 9b$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b - a^2 + 3a - 9b$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を適切にグループ化して共通因数を見つけます。

最初の二つの項と、最後の二つの項をグループ化します。

$a^2b - a^2 + 3a - 9b = (a^2b - a^2) + (3a - 9b)$

それぞれのグループから共通因数をくくりだします。

最初のグループからは $a^2$ を、次のグループからは $3$ をくくりだします。

$a^2(b - 1) + 3(a - 3b)$

ここで、全体の式で共通因数を見つけることは難しいため、式の並び順を変えてみましょう。

$a^2b - a^2 + 3a - 9b = a^2b - 9b - a^2 + 3a$

最初の二つの項から $b$ をくくり出し、次の二つの項から $-1$ をくくり出すと、

$b(a^2 - 9) - (a^2 - 3a)$

この式ではまだ因数分解を進めることができません。元のグループ化に戻って、別の方法を試します。

$a^2b - a^2 + 3a - 9b$

$a^2b - a^2 + 3a - 9b = (a^2b - 9b) + (-a^2 + 3a)$

$= b(a^2 - 9) -a(a - 3)$

$= b(a - 3)(a + 3) - a(a - 3)$

ここで $(a - 3)$ が共通因数であることがわかります。これをくくりだすと、

$(a - 3)[b(a + 3) - a]$

$(a - 3)(ab + 3b - a)$

3. 最終的な答え

$(a - 3)(ab - a + 3b)$