問題15は、2次関数 $y = x^2 + (2a - b)x + a^2 + 1$ のグラフ $G$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) グラフ $G$ の頂点の座標を求めます。 (2) グラフ $G$ が点 $(-1, 6)$ を通るとき、 $b$ のとりうる値の最大値とそのときの $a$ の値を求め、さらに $b=エ$, $a=オ$ のときのグラフ $G$ が2次関数 $y=x^2$ のグラフをどのように平行移動したものかを求めます。

1. 問題の内容

問題15は、2次関数 $y = x^2 + (2a - b)x + a^2 + 1$ のグラフ $G$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) グラフ $G$ の頂点の座標を求めます。

(2) グラフ $G$ が点 $(-1, 6)$ を通るとき、 $b$ のとりうる値の最大値とそのときの $a$ の値を求め、さらに $b=エ$, $a=オ$ のときのグラフ $G$ が2次関数 $y=x^2$ のグラフをどのように平行移動したものかを求めます。

2. 解き方の手順

(1) グラフ $G$ の頂点の座標を求めます。

与えられた2次関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= x^2 + (2a - b)x + a^2 + 1 \\

&= \left( x + \frac{2a - b}{2} \right)^2 - \left( \frac{2a - b}{2} \right)^2 + a^2 + 1 \\

&= \left( x + a - \frac{b}{2} \right)^2 - \left( a - \frac{b}{2} \right)^2 + a^2 + 1 \\

&= \left( x + a - \frac{b}{2} \right)^2 - \left( a^2 - ab + \frac{b^2}{4} \right) + a^2 + 1 \\

&= \left( x + a - \frac{b}{2} \right)^2 + ab - \frac{b^2}{4} + 1

\end{align*}

したがって、グラフ $G$ の頂点の座標は $\left( -a + \frac{b}{2}, -\frac{b^2}{4} + ab + 1 \right)$ となります。

ア: 2, イ: 4, ウ: 1

(2) グラフ $G$ が点 $(-1, 6)$ を通るとき、

$6 = (-1)^2 + (2a - b)(-1) + a^2 + 1$

$6 = 1 - 2a + b + a^2 + 1$

$a^2 - 2a + b - 4 = 0$

$b = -a^2 + 2a + 4$

$b$ は $a$ の2次関数なので、$b = -(a - 1)^2 + 5$ と変形できる。

$a$ と $b$ は正の実数なので、$a > 0$, $b > 0$。

$b$ が最大値を取るのは、$a = 1$ のときで、$b = 5$。

エ: 5, オ: 1

$b=5$, $a=1$ のとき、

$y = x^2 + (2(1) - 5)x + 1^2 + 1 = x^2 - 3x + 2$

$= (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$

これは、$y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{3}{2}$, $y$ 軸方向に $-\frac{1}{4}$ だけ平行移動したものです。

カ: 3/2, キ: -1/4

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 1

エ: 5

オ: 1

カ: 3/2

キ: -1/4