$a$ を定数とする。関数 $y = x^2 - 2ax$ ($0 \le x \le 2$) について、次の問いに答えよ。 (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $y = x^2 - 2ax$ ($0 \le x \le 2$) について、次の問いに答えよ。

(1) 最小値を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 最小値を求める。

まず、$y = x^2 - 2ax$ を平方完成する。

$y = (x - a)^2 - a^2$

軸は $x = a$ である。定義域 $0 \le x \le 2$ における最小値を考える。

(i) $a < 0$ のとき、最小値は $x = 0$ で $y = 0$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $x = a$ で $y = -a^2$

(iii) $2 < a$ のとき、最小値は $x = 2$ で $y = 4 - 4a$

(2) 最大値を求める。

$y = x^2 - 2ax$ の定義域 $0 \le x \le 2$ における最大値を考える。

(i) $a \le 1$ のとき、最大値は $x = 2$ で $y = 4 - 4a$

(ii) $1 < a$ のとき、最大値は $x = 0$ で $y = 0$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$a < 0$ のとき、0

$0 \le a \le 2$ のとき、$-a^2$

$2 < a$ のとき、$4 - 4a$

(2) 最大値

$a \le 1$ のとき、$4 - 4a$

$1 < a$ のとき、0