$a, b, c$ は $a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1$ を満たす正の実数である。 (1) 次の等式 $\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_a c = 1$ を証明することを考える。 (i) $a=2, b=8, \log_2 c = \frac{2}{3}$ とするとき, $\log_b a$, $\log_c b$ の値を求め、等式が成り立つことを確かめる。 (ii) $a=2, b=6, c=3$ とするとき, 底を2にそろえて、$\log_b a$, $\log_c b$, $\log_a c$ を $\log_3 2$ を用いて表し、等式が成り立つことを確かめる。 (iii) $r$ は $b=a^r, c=a^s$ を満たす実数とするとき、得られる性質を用いて一般に等式が成り立つことを確かめる。

1. 問題の内容

$a, b, c$ は $a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1$ を満たす正の実数である。

(1) 次の等式 $\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_a c = 1$ を証明することを考える。

(i) $a=2, b=8, \log_2 c = \frac{2}{3}$ とするとき, $\log_b a$, $\log_c b$ の値を求め、等式が成り立つことを確かめる。

(ii) $a=2, b=6, c=3$ とするとき, 底を2にそろえて、$\log_b a$, $\log_c b$, $\log_a c$ を $\log_3 2$ を用いて表し、等式が成り立つことを確かめる。

(iii) $r$ は $b=a^r, c=a^s$ を満たす実数とするとき、得られる性質を用いて一般に等式が成り立つことを確かめる。

2. 解き方の手順

(1) (i) $a=2, b=8, \log_2 c = \frac{2}{3}$

$\log_b a = \log_8 2 = \log_{2^3} 2 = \frac{1}{3} \log_2 2 = \frac{1}{3}$. よって、アは $\frac{1}{3}$

$\log_2 c = \frac{2}{3} \Leftrightarrow c = 2^{\frac{2}{3}}$

$\log_c b = \log_{2^{\frac{2}{3}}} 8 = \log_{2^{\frac{2}{3}}} 2^3 = \frac{3}{\frac{2}{3}} \log_2 2 = \frac{9}{2}$. よって、イは $\frac{9}{2}$

$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_a c = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot \log_2 2^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$ となり、等式が成り立つことがわかる。

(ii) $a=2, b=6, c=3$

$\log_b a = \log_6 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 6} = \frac{1}{\log_2 (2 \cdot 3)} = \frac{1}{\log_2 2 + \log_2 3} = \frac{1}{1 + \log_2 3}$

ここで、 $X = \log_3 2$ とおくと、 $\log_2 3 = \frac{1}{X}$.

$\log_b a = \frac{1}{1 + \frac{1}{X}} = \frac{X}{X+1}$. よって、ウは $\frac{X}{1+X}$

$\log_c b = \log_3 6 = \frac{\log_2 6}{\log_2 3} = \frac{\log_2 (2 \cdot 3)}{\log_2 3} = \frac{1 + \log_2 3}{\log_2 3} = \frac{1 + \frac{1}{X}}{\frac{1}{X}} = X + 1$. よって、エは $1+X$

$\log_a c = \log_2 3 = \frac{1}{X}$. よって、オは $\frac{1}{X}$

$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_a c = \frac{X}{1+X} \cdot (1+X) \cdot \frac{1}{X} = 1$ となり、等式が成り立つことがわかる。

(iii) $b=a^r, c=a^s$

$\log_b a = \log_{a^r} a = \frac{1}{r} \log_a a = \frac{1}{r}$

$\log_c b = \log_{a^s} a^r = \frac{r}{s} \log_a a = \frac{r}{s}$

$\log_a c = \log_a a^s = s \log_a a = s$

$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_a c = \frac{1}{r} \cdot \frac{r}{s} \cdot s = 1$.

$b = a^r \Rightarrow r = \log_a b$

$c = a^s \Rightarrow s = \log_a c$

$\log_c b = \frac{r}{s} = \frac{\log_a b}{\log_a c}$

よって、$\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$. したがって、$\log_b a \cdot \log_a b = 1$

$\log_c b = \frac{\log_a b}{\log_a c}$

$\log_a c = \frac{1}{\log_c a}$

$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_a c = \log_{a^r} a \cdot \log_{a^s} a^r \cdot \log_a a^s = \frac{1}{r} \cdot \frac{r}{s} \cdot s = 1$

$b = a^r$, $c = a^s$ より、 $r = \log_a b$, $s = \log_a c$.

よって、$c = a^{\log_a c} = (a^{\log_a b})^{\frac{\log_a c}{\log_a b}} = b^{\frac{\log_a c}{\log_a b}}$

$\log_c b = \frac{\log_a b}{\log_a c}$ より、 $\log_a b \cdot \log_c a = \log_c b$

$r = \log_a b, s = \log_a c$ を代入すると、

$b = a^r \Leftrightarrow \log_a b = r$

$c = a^s \Leftrightarrow \log_a c = s$

$\log_c b = \frac{\log_a b}{\log_a c} = \frac{r}{s}$.

$\log_c b \cdot \log_a c = \log_a b \Rightarrow r + \log_a b = \log_a c$ とならない.

$\log_a b = r \Rightarrow \log_b a = \frac{1}{r}$.

$b = a^r \Rightarrow r = \log_a b$. よって $\log_c b = r \log_c a$ であるので、

$r \cdot \log_b a = \log_b c$

よって、選択肢より、 $\log_c b = \frac{r}{s} = \frac{\log_a b}{\log_a c}$ と、 $\frac{1}{r} = \log_b a$ より、 $r = \log_a b$ を代入して、$\frac{1}{r}$ が明らかになる。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1}{3}$

イ: $\frac{9}{2}$

ウ: $\frac{X}{1+X}$ (選択肢(0)

エ: $1+X$ (選択肢(1)

オ: $\frac{1}{X}$ (選択肢(3)

カ: $r = \log_a b$ (選択肢(1))