$\log_{10} 2 = a$、$\log_{10} 3 = b$ とするとき、次の値を $a$ と $b$ で表す問題です。 (1) $\log_{10} \frac{9}{16}$ (2) $\log_{2} 27$

1. 問題の内容

$\log_{10} 2 = a$、$\log_{10} 3 = b$ とするとき、次の値を $a$ と $b$ で表す問題です。

(1) $\log_{10} \frac{9}{16}$

(2) $\log_{2} 27$

2. 解き方の手順

(1)

$\log_{10} \frac{9}{16}$ を $a$ と $b$ で表します。対数の性質を利用して、$\log_{10} \frac{9}{16} = \log_{10} 9 - \log_{10} 16$ と変形します。さらに、$\log_{10} 9 = \log_{10} 3^2 = 2 \log_{10} 3 = 2b$、$\log_{10} 16 = \log_{10} 2^4 = 4 \log_{10} 2 = 4a$ となります。

したがって、

$\log_{10} \frac{9}{16} = 2b - 4a$

(2)

$\log_{2} 27$ を $a$ と $b$ で表します。底の変換公式 $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ を用いると、$\log_{2} 27 = \frac{\log_{10} 27}{\log_{10} 2}$ となります。$\log_{10} 27 = \log_{10} 3^3 = 3 \log_{10} 3 = 3b$ であり、$\log_{10} 2 = a$ であるから、

$\log_{2} 27 = \frac{3b}{a}$

3. 最終的な答え

(1) $2b - 4a$

(2) $\frac{3b}{a}$