ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ x \\ y \end{pmatrix}$ について、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が直交し、かつ $|\vec{b}| = 4$ を満たすとき、$x$ と $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ x \\ y \end{pmatrix}$ について、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が直交し、かつ $|\vec{b}| = 4$ を満たすとき、$x$ と $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が直交するという条件から、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ が成り立つ。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(1) + 0(-1) + (-1)(x) + 1(y) = 2 - x + y = 0$

したがって、

$y = x - 2$

次に、$\left| \vec{b} \right| = 4$ という条件から、$\left| \vec{b} \right|^2 = 16$ が成り立つ。

$\left| \vec{b} \right|^2 = 1^2 + (-1)^2 + x^2 + y^2 = 1 + 1 + x^2 + y^2 = 2 + x^2 + y^2 = 16$

したがって、

$x^2 + y^2 = 14$

$y = x - 2$ を代入すると、

$x^2 + (x-2)^2 = 14$

$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 14$

$2x^2 - 4x - 10 = 0$

$x^2 - 2x - 5 = 0$

この二次方程式を解くと、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$

よって、$x = 1 + \sqrt{6}$ または $x = 1 - \sqrt{6}$

$y = x - 2$ より、

$x = 1 + \sqrt{6}$ のとき、$y = 1 + \sqrt{6} - 2 = -1 + \sqrt{6}$

$x = 1 - \sqrt{6}$ のとき、$y = 1 - \sqrt{6} - 2 = -1 - \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$x = 1 + \sqrt{6}, y = -1 + \sqrt{6}$ または $x = 1 - \sqrt{6}, y = -1 - \sqrt{6}$