次の式を因数分解する問題です。 (1) $27x^3 + y^3$ (2) $16x^3 - 54y^3$ (3) $x^6 + 7x^3 - 8$

1. 問題の内容

次の式を因数分解する問題です。

(1) $27x^3 + y^3$

(2) $16x^3 - 54y^3$

(3) $x^6 + 7x^3 - 8$

2. 解き方の手順

(1) $27x^3 + y^3$

これは、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$の公式を利用します。

$27x^3 = (3x)^3$なので、$a = 3x$、$b = y$と考えると、

$27x^3 + y^3 = (3x + y)((3x)^2 - (3x)(y) + y^2)$

$= (3x + y)(9x^2 - 3xy + y^2)$

(2) $16x^3 - 54y^3$

まず、共通因数でくくります。

$16x^3 - 54y^3 = 2(8x^3 - 27y^3)$

次に、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$の公式を利用します。

$8x^3 = (2x)^3$、$27y^3 = (3y)^3$なので、$a = 2x$、$b = 3y$と考えると、

$2(8x^3 - 27y^3) = 2((2x)^3 - (3y)^3)$

$= 2(2x - 3y)((2x)^2 + (2x)(3y) + (3y)^2)$

$= 2(2x - 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$

(3) $x^6 + 7x^3 - 8$

$x^3 = A$とおくと、$A^2 + 7A - 8$となります。

これは、$A^2 + 7A - 8 = (A + 8)(A - 1)$と因数分解できます。

$A$を$x^3$に戻すと、$(x^3 + 8)(x^3 - 1)$となります。

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3$、$x^3 - 1 = x^3 - 1^3$なので、$a^3 + b^3$と$a^3 - b^3$の公式を利用します。

$x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

$x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

よって、$(x^3 + 8)(x^3 - 1) = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x - 1)(x^2 + x + 1)$

$= (x - 1)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(3x + y)(9x^2 - 3xy + y^2)$

(2) $2(2x - 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$

(3) $(x - 1)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + x + 1)$