数学的帰納法を用いて、等式 $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 = \frac{1}{3}n(2n-1)(2n+1)$ を証明する。

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、等式 $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 = \frac{1}{3}n(2n-1)(2n+1)$ を証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき：

左辺 $= 1^2 = 1$

右辺 $= \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1) = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 = 1$

よって、$n=1$ のとき等式は成り立つ。

(2) $n=k$ のとき等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$$1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k-1)^2 = \frac{1}{3}k(2k-1)(2k+1)$$

が成り立つと仮定する。

(3) $n=k+1$ のとき、等式が成り立つことを示す。すなわち、

$$1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2(k+1)-1)^2 = \frac{1}{3}(k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)$$

を示す。

左辺 $= 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k-1)^2 + (2(k+1)-1)^2$

$= \frac{1}{3}k(2k-1)(2k+1) + (2k+1)^2$ (仮定より)

$= \frac{1}{3}k(2k-1)(2k+1) + \frac{3}{3}(2k+1)^2$

$= \frac{1}{3}(2k+1)[k(2k-1) + 3(2k+1)]$

$= \frac{1}{3}(2k+1)(2k^2 - k + 6k + 3)$

$= \frac{1}{3}(2k+1)(2k^2 + 5k + 3)$

$= \frac{1}{3}(2k+1)(2k+3)(k+1)$

$= \frac{1}{3}(k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)$

これは、$n=k+1$ のときの右辺に等しい。

したがって、$n=k+1$ のときも等式は成り立つ。

(1)(3)より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について等式が成り立つ。

3. 最終的な答え

$1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 = \frac{1}{3}n(2n-1)(2n+1)$