与えられた等式 $1 + 4 + 7 + \dots + (3n-2) = \frac{1}{2}n(3n-1)$ を数学的帰納法を用いて証明する問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $1 + 4 + 7 + \dots + (3n-2) = \frac{1}{2}n(3n-1)$ を数学的帰納法を用いて証明する問題です。

2. 解き方の手順

(1) n=1のとき、等式が成り立つことを示す。

左辺は $1$ であり、右辺は $\frac{1}{2}(1)(3(1)-1) = \frac{1}{2}(1)(2) = 1$ です。よって、$n=1$ のとき、等式は成り立ちます。

(2) n=kのとき等式が成り立つと仮定し、n=k+1のときも等式が成り立つことを示す。

$n=k$ のとき、等式 $1 + 4 + 7 + \dots + (3k-2) = \frac{1}{2}k(3k-1)$ が成り立つと仮定します。

このとき、$n=k+1$ のときの左辺は、

$1 + 4 + 7 + \dots + (3k-2) + (3(k+1)-2) = 1 + 4 + 7 + \dots + (3k-2) + (3k+3-2) = 1 + 4 + 7 + \dots + (3k-2) + (3k+1)$

となります。

$n=k$ のときの仮定を用いると、

$1 + 4 + 7 + \dots + (3k-2) + (3k+1) = \frac{1}{2}k(3k-1) + (3k+1)$

$= \frac{1}{2}(3k^2 - k) + (3k+1) = \frac{1}{2}(3k^2 - k + 6k + 2) = \frac{1}{2}(3k^2 + 5k + 2)$

$= \frac{1}{2}(k+1)(3k+2) = \frac{1}{2}(k+1)(3(k+1)-1)$

これは $n=k+1$ のときの右辺

$\frac{1}{2}(k+1)(3(k+1)-1)$

と一致します。

したがって、$n=k$ のとき等式が成り立つと仮定すると、$n=k+1$ のときも等式が成り立ちます。

(1),(2)より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について、与えられた等式が成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ について、$1 + 4 + 7 + \dots + (3n-2) = \frac{1}{2}n(3n-1)$ が成り立つ。