円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=4, CD=4, DA=2とする。対角線ACとBDの交点をPとする。 (1)三角形APBの外接円の半径をR1、三角形APDの外接円の半径をR2とするとき、R1/R2の値を求めよ。 (2)ACの長さを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=4, CD=4, DA=2とする。対角線ACとBDの交点をPとする。

(1)三角形APBの外接円の半径をR1、三角形APDの外接円の半径をR2とするとき、R1/R2の値を求めよ。

(2)ACの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円に内接する四角形の性質より、向かい合う角の和は180°である。

∠ABC + ∠ADC = 180°

∠BAD + ∠BCD = 180°

ここで、∠APBと∠APDは対頂角なので、∠APB = ∠APDである。

正弦定理より、三角形APBにおいて、

$\frac{AB}{\sin{∠APB}} = 2R_1$

三角形APDにおいて、

$\frac{AD}{\sin{∠APD}} = 2R_2$

よって、

$R_1 = \frac{AB}{2\sin{∠APB}}$

$R_2 = \frac{AD}{2\sin{∠APD}}$

したがって、

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{AB}{2\sin{∠APB}}}{\frac{AD}{2\sin{∠APD}}} = \frac{AB}{AD} = \frac{5}{2}$

(2)

余弦定理より、三角形ABCにおいて、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos{∠ABC}$

$AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos{∠ABC} = 41 - 40\cos{∠ABC}$

三角形ADCにおいて、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cdot \cos{∠ADC}$

$AC^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos{∠ADC} = 20 - 16\cos{∠ADC}$

四角形ABCDは円に内接するので、∠ABC + ∠ADC = 180°より、∠ADC = 180° - ∠ABCである。

$\cos{∠ADC} = \cos{(180° - ∠ABC)} = -\cos{∠ABC}$

よって、$AC^2 = 20 - 16(-\cos{∠ABC}) = 20 + 16\cos{∠ABC}$

$41 - 40\cos{∠ABC} = 20 + 16\cos{∠ABC}$

$21 = 56\cos{∠ABC}$

$\cos{∠ABC} = \frac{21}{56} = \frac{3}{8}$

$AC^2 = 20 + 16\cos{∠ABC} = 20 + 16 \cdot \frac{3}{8} = 20 + 6 = 26$

$AC = \sqrt{26}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{R_1}{R_2} = \frac{5}{2}$

(2) $AC = \sqrt{26}$