直線 $l: (a-4)x + 4y - a - 4 = 0$ が、実数 $a$ の値にかかわらず通る定点の座標を求め、さらに直線 $l$ が円 $x^2 + y^2 = 1$ に接するときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: (a-4)x + 4y - a - 4 = 0$ が、実数 $a$ の値にかかわらず通る定点の座標を求め、さらに直線 $l$ が円 $x^2 + y^2 = 1$ に接するときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の式を $a$ について整理する。

$a(x-1) -4x + 4y -4 = 0$

この式が $a$ の値にかかわらず成り立つためには、以下の2つの式が同時に成り立つ必要がある。

$x - 1 = 0$

$-4x + 4y - 4 = 0$

これらの式を解く。

$x = 1$

$-4(1) + 4y - 4 = 0$

$4y = 8$

$y = 2$

したがって、直線 $l$ は $a$ の値にかかわらず点 $(1, 2)$ を通る。

(2) 直線 $l$ が円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する条件を求める。

直線 $l$ の式を整理する。

$4y = -(a-4)x + a + 4$

$y = -\frac{(a-4)}{4}x + \frac{a+4}{4}$

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $(a-4)x + 4y - (a+4) = 0$ の距離が円の半径 $1$ に等しいとき、直線は円に接する。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|(a-4)(0) + 4(0) - (a+4)|}{\sqrt{(a-4)^2 + 4^2}} = 1$

$\frac{|-(a+4)|}{\sqrt{(a-4)^2 + 16}} = 1$

$|a+4| = \sqrt{(a-4)^2 + 16}$

$(a+4)^2 = (a-4)^2 + 16$

$a^2 + 8a + 16 = a^2 - 8a + 16 + 16$

$16a = 16$

$a = 1$

3. 最終的な答え

直線 $l$ が通る定点の座標は $(1, 2)$ である。

直線 $l$ が円 $x^2 + y^2 = 1$ に接するときの $a$ の値は $a = 1$ である。