放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分に、長方形ABCDを、辺BCが $x$ 軸上にあるように内接させる。この長方形の周の長さが最大となるときの辺BCの長さを求めよ。

## 問題3

1. 問題の内容

放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分に、長方形ABCDを、辺BCが $x$ 軸上にあるように内接させる。この長方形の周の長さが最大となるときの辺BCの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点Cの $x$ 座標を $t$ ($t>0$) とおく。すると、点Dの座標は $(t, 4-t^2)$ となる。長方形ABCDの辺BCの長さは $2t$ 、辺CDの長さは $4-t^2$ である。長方形の周の長さ $L$ は、

$L = 2(2t) + 2(4-t^2) = 4t + 8 - 2t^2 = -2t^2 + 4t + 8$

となる。

次に、この $L$ を最大にする $t$ の値を求める。 $L$ を平方完成すると、

$L = -2(t^2 - 2t) + 8 = -2(t^2 - 2t + 1 - 1) + 8 = -2(t-1)^2 + 2 + 8 = -2(t-1)^2 + 10$

$L$ は $t=1$ のとき最大値10をとる。

したがって、長方形の周の長さが最大となるのは $t=1$ のときである。

辺BCの長さは $2t$ なので、$2 \times 1 = 2$ となる。

3. 最終的な答え

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