三角形ABCにおいて、$A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$, $AC = 4$ であるとき、$BC$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$, $AC = 4$ であるとき、$BC$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和が $180^\circ$ であることを利用して、角Cの大きさを求めます。

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

次に、正弦定理を用いて $BC$ の長さを求めます。正弦定理は、三角形の各辺の長さとその対角のサインの比が等しいという定理です。

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$BC = AC \cdot \frac{\sin A}{\sin B}$

与えられた値を代入します。

$BC = 4 \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$BC = 4 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{6}$