点 $(3, 2)$ を通り、2点 $(-3, -2)$ と $(5, 7)$ を結ぶ線分に平行な直線と垂直な直線の方程式をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

点 $(3, 2)$ を通り、2点 $(-3, -2)$ と $(5, 7)$ を結ぶ線分に平行な直線と垂直な直線の方程式をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2点 $(-3, -2)$ と $(5, 7)$ を結ぶ直線の傾きを求めます。傾き $m$ は以下の式で計算できます。

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

ここで、$(x_1, y_1) = (-3, -2)$、$(x_2, y_2) = (5, 7)$ なので、

$m = \frac{7 - (-2)}{5 - (-3)} = \frac{9}{8}$

次に、点 $(3, 2)$ を通り、傾き $\frac{9}{8}$ の直線の方程式を求めます。点傾きの公式は以下の通りです。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

ここで、$(x_1, y_1) = (3, 2)$、 $m = \frac{9}{8}$ なので、

$y - 2 = \frac{9}{8}(x - 3)$

$8(y - 2) = 9(x - 3)$

$8y - 16 = 9x - 27$

$9x - 8y - 11 = 0$

したがって、平行な直線の方程式は $9x - 8y - 11 = 0$ となります。

次に、点 $(3, 2)$ を通り、2点 $(-3, -2)$ と $(5, 7)$ を結ぶ線分に垂直な直線の方程式を求めます。垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数の符号を反転させたものです。元の直線の傾きは $\frac{9}{8}$ なので、垂直な直線の傾き $m_{\perp}$ は以下のようになります。

$m_{\perp} = -\frac{1}{m} = -\frac{8}{9}$

点 $(3, 2)$ を通り、傾き $-\frac{8}{9}$ の直線の方程式を求めます。点傾きの公式は以下の通りです。

$y - y_1 = m_{\perp}(x - x_1)$

ここで、$(x_1, y_1) = (3, 2)$、$m_{\perp} = -\frac{8}{9}$ なので、

$y - 2 = -\frac{8}{9}(x - 3)$

$9(y - 2) = -8(x - 3)$

$9y - 18 = -8x + 24$

$8x + 9y - 42 = 0$

したがって、垂直な直線の方程式は $8x + 9y - 42 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

平行な直線の方程式: $9x - 8y - 11 = 0$

垂直な直線の方程式: $8x + 9y - 42 = 0$