円 $x^2 + y^2 - 4x - 8y + 15 = 0$ と直線 $y = ax + 1$ が異なる2点A, Bで交わっている。 (1) $a$ の値の範囲を求める。 (2) 弦ABの長さが最大になるときの $a$ の値を求める。 (3) 弦ABの長さが2になるときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 - 4x - 8y + 15 = 0$ と直線 $y = ax + 1$ が異なる2点A, Bで交わっている。

(1) $a$ の値の範囲を求める。

(2) 弦ABの長さが最大になるときの $a$ の値を求める。

(3) 弦ABの長さが2になるときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、円の方程式を平方完成する。

$x^2 - 4x + y^2 - 8y + 15 = 0$

$(x - 2)^2 - 4 + (y - 4)^2 - 16 + 15 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 5$

これは中心 $(2, 4)$、半径 $\sqrt{5}$ の円である。

直線 $y = ax + 1$ と円が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線の距離 $d$ が半径 $\sqrt{5}$ より小さいことである。

直線の方程式を変形して $ax - y + 1 = 0$ とする。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|a(2) - 4 + 1|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|2a - 3|}{\sqrt{a^2 + 1}}$

$d < \sqrt{5}$ より、

$\frac{|2a - 3|}{\sqrt{a^2 + 1}} < \sqrt{5}$

$|2a - 3| < \sqrt{5(a^2 + 1)}$

$(2a - 3)^2 < 5(a^2 + 1)$

$4a^2 - 12a + 9 < 5a^2 + 5$

$0 < a^2 + 12a - 4$

$a^2 + 12a - 4 > 0$

解の公式より、$a = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 16}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{160}}{2} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{10}}{2} = -6 \pm 2\sqrt{10}$

したがって、$a < -6 - 2\sqrt{10}$ または $a > -6 + 2\sqrt{10}$

(2)

弦ABの長さが最大になるのは、直線が円の中心を通るときである。

$y = ax + 1$ が $(2, 4)$ を通るとき、

$4 = 2a + 1$

$2a = 3$

$a = \frac{3}{2}$

(3)

弦ABの長さが2のとき、中心から弦ABまでの距離を $d'$ とする。

三平方の定理より、$(\frac{2}{2})^2 + d'^2 = (\sqrt{5})^2$

$1 + d'^2 = 5$

$d'^2 = 4$

$d' = 2$

$\frac{|2a - 3|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2$

$|2a - 3| = 2\sqrt{a^2 + 1}$

$(2a - 3)^2 = 4(a^2 + 1)$

$4a^2 - 12a + 9 = 4a^2 + 4$

$-12a = -5$

$a = \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $a < -6 - 2\sqrt{10}$ または $a > -6 + 2\sqrt{10}$

(2) $a = \frac{3}{2}$

(3) $a = \frac{5}{12}$