## 3. 問題の内容

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3. 問題の内容

放物線 $y=4-x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分に、長方形 ABCD を、辺 BC が $x$ 軸上にあるように内接させる。この長方形の周の長さが最大となるときの辺 BC の長さを求める。

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2. 解き方の手順

1. 点 B の $x$ 座標を $t$ $(t>0)$ とおく。すると、点 C の $x$ 座標は $-t$ となる（放物線は $y$ 軸に関して対称だから）。

2. 点 A の $x$ 座標は $t$ であり、$y$ 座標は $y = 4 - t^2$ である。

3. 長方形 ABCD の辺 BC の長さは $BC = t - (-t) = 2t$ となる。

4. 長方形 ABCD の辺 AB の長さは $AB = 4 - t^2$ となる。

5. 長方形 ABCD の周の長さを $L$ とすると、$L = 2(BC + AB) = 2(2t + 4 - t^2) = -2t^2 + 4t + 8$ となる。

6. $L = -2t^2 + 4t + 8$ を平方完成する。

$L = -2(t^2 - 2t) + 8 = -2(t^2 - 2t + 1 - 1) + 8 = -2((t-1)^2 - 1) + 8 = -2(t-1)^2 + 2 + 8 = -2(t-1)^2 + 10$.

7. $L$ が最大となるのは、$(t-1)^2 = 0$ のとき、つまり $t = 1$ のときである。

8. $t = 1$ のとき、辺 BC の長さは $2t = 2(1) = 2$ となる。

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3. 最終的な答え

辺 BC の長さは 2