座標平面上に点 A(1, 2), B(1, 3) と直線 $ax + by - 1 = 0$ がある。直線 $l$ と線分 AB が共有点を持つとき、点 (a, b) が存在する領域を図示せよ。

1. 問題の内容

座標平面上に点 A(1, 2), B(1, 3) と直線 $ax + by - 1 = 0$ がある。直線 $l$ と線分 AB が共有点を持つとき、点 (a, b) が存在する領域を図示せよ。

2. 解き方の手順

線分 AB 上の任意の点は、$0 \le t \le 1$ を満たす実数 $t$ を用いて、次のように表せる。

$(1 - t)A + tB = (1 - t)(1, 2) + t(1, 3) = (1, 2 - 2t + 3t) = (1, 2 + t)$

線分 AB と直線 $ax + by - 1 = 0$ が共有点を持つ条件は、ある $t$ ($0 \le t \le 1$) について、点 $(1, 2 + t)$ が直線 $ax + by - 1 = 0$ 上にあることである。

したがって、

$a(1) + b(2 + t) - 1 = 0$

$a + 2b + tb - 1 = 0$

$tb = 1 - a - 2b$

この式は、$0 \le t \le 1$ を満たす $t$ について成立しなければならない。

$t = \frac{1 - a - 2b}{b}$

$0 \le \frac{1 - a - 2b}{b} \le 1$

場合分けをして不等式を解く。

(1) $b > 0$ のとき:

$0 \le 1 - a - 2b \le b$

$a + 2b \le 1$ かつ $1 - a - 2b \le b$

$a + 2b \le 1$ かつ $a + 3b \ge 1$

(2) $b < 0$ のとき:

$0 \ge 1 - a - 2b \ge b$

$a + 2b \ge 1$ かつ $1 - a - 2b \ge b$

$a + 2b \ge 1$ かつ $a + 3b \le 1$

まとめると以下の不等式となる。

$b > 0$ のとき: $a + 2b \le 1$ かつ $a + 3b \ge 1$

$b < 0$ のとき: $a + 2b \ge 1$ かつ $a + 3b \le 1$

図示すると、直線 $a + 2b = 1$ と $a + 3b = 1$ に囲まれた領域となる。ただし、領域は b = 0 を含まない。

境界線は含む。

3. 最終的な答え

領域は、2直線 $a + 2b = 1$ と $a + 3b = 1$ の間に挟まれた領域である。ただし、$b=0$の軸上は含まない。

$b > 0$ のとき、$1 - 3b \le a \le 1 - 2b$

$b < 0$ のとき、$1 - 2b \le a \le 1 - 3b$