$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$ で、$\vec{a} - \vec{b}$ と $5\vec{a} + 2\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求める問題です。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$ で、$\vec{a} - \vec{b}$ と $5\vec{a} + 2\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} - \vec{b}$ と $5\vec{a} + 2\vec{b}$ が垂直であることから、内積が0になることを利用します。

$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (5\vec{a} + 2\vec{b}) = 0$

内積を展開します。

$5\vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 5\vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1^2 = 1$

$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 2^2 = 4$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

であるから、

$5|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 0$

$5(1) - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 2(4) = 0$

$5 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 8 = 0$

$-3\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

次に、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-1}{1 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$

$\theta = \frac{2}{3}\pi$ (ラジアン) または $120^\circ$ (度)

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $\frac{2}{3}\pi$ である。