三角形OABにおいて、ベクトルOA = a, ベクトルOB = bとする。|a| = 2, |b| = 3, |a + b| = 4のとき、三角形OABの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、ベクトルOA = a, ベクトルOB = bとする。|a| = 2, |b| = 3, |a + b| = 4のとき、三角形OABの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$|a + b|^2$を計算します。

$|a + b|^2 = (a + b) \cdot (a + b) = a \cdot a + 2(a \cdot b) + b \cdot b = |a|^2 + 2(a \cdot b) + |b|^2$

与えられた値 $|a| = 2, |b| = 3, |a + b| = 4$ を代入すると、

$4^2 = 2^2 + 2(a \cdot b) + 3^2$

$16 = 4 + 2(a \cdot b) + 9$

$16 = 13 + 2(a \cdot b)$

$2(a \cdot b) = 3$

$a \cdot b = \frac{3}{2}$

次に、ベクトルaとベクトルbのなす角$\theta$を求めます。

$a \cdot b = |a| |b| \cos{\theta}$

$\frac{3}{2} = 2 \cdot 3 \cdot \cos{\theta}$

$\frac{3}{2} = 6 \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{4}$

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ より、$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta} = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin{\theta} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ (なぜならば、$0 \le \theta \le \pi$ であるから $\sin{\theta} \ge 0$)

三角形OABの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} |a| |b| \sin{\theta}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{15}}{4}$