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複素数 $(1+i)(\sqrt{3}-i)$ を極形式で表す。

代数学複素数極形式複素数の計算
2025/6/21

1. 問題の内容

複素数 (1+i)(3−i)(1+i)(\sqrt{3}-i) を極形式で表す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた複素数を展開し、標準形 a+bia+bi で表す。
(1+i)(3−i)=3−i+i3−i2=3−i+i3+1=(3+1)+(3−1)i(1+i)(\sqrt{3}-i) = \sqrt{3} - i + i\sqrt{3} - i^2 = \sqrt{3} - i + i\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1)i
次に、この複素数の絶対値 rr を求める。
r=(3+1)2+(3−1)2=(3+23+1)+(3−23+1)=8=22r = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{(3 + 2\sqrt{3} + 1) + (3 - 2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
偏角 θ\theta を求める。tan⁡θ=3−13+1\tan\theta = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} である。
tan⁡θ=3−13+1=(3−1)(3−1)(3+1)(3−1)=3−23+13−1=4−232=2−3\tan\theta = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}
2−3=tan⁡(π12)2 - \sqrt{3} = \tan(\frac{\pi}{12}) であるから、θ=π12\theta = \frac{\pi}{12} となる。
したがって、極形式は r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos\theta + i\sin\theta) で表される。

3. 最終的な答え

22(cos⁡π12+isin⁡π12)2\sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)

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