$x \geq 0$, $y \geq 0$, $x^2 + y^2 \leq 2025$, $x \geq 3y$ をすべて満たす整数の組$(x, y)$ の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \geq 0$, $y \geq 0$, $x^2 + y^2 \leq 2025$, $x \geq 3y$ をすべて満たす整数の組$(x, y)$ の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の値の範囲を絞り込みます。

$x \geq 3y$ より、 $x^2 \geq 9y^2$ です。

$x^2 + y^2 \leq 2025$ なので、$9y^2 + y^2 \leq x^2 + y^2 \leq 2025$ となります。

したがって、$10y^2 \leq 2025$ より、$y^2 \leq 202.5$ です。

$y$ は整数なので、$y \leq \sqrt{202.5}$ です。 $\sqrt{202.5} \approx 14.23$ なので、$y \leq 14$ となります。

$y \geq 0$ も考慮すると、$y$ は $0$ から $14$ までの整数です。

次に、各 $y$ の値に対して、$x$ の取り得る範囲を求めます。

$x \geq 3y$ かつ $x^2 \leq 2025 - y^2$ を満たす $x$ の個数を数えます。

$y$ は整数なので、$x$ も整数です。

$x \geq 3y$ より、$x$ は $3y$ 以上の整数です。

$x^2 \leq 2025 - y^2$ より、$x \leq \sqrt{2025 - y^2}$ です。

したがって、$3y \leq x \leq \sqrt{2025 - y^2}$ となります。

$y$ を $0$ から $14$ まで変化させて、$x$ の個数を数えます。

$y=0$ のとき、$0 \leq x \leq \sqrt{2025} = 45$ なので、$0 \leq x \leq 45$ となり、 $x$ は $0$ から $45$ までの整数なので、$46$ 個あります。

$y=1$ のとき、$3 \leq x \leq \sqrt{2025-1} = \sqrt{2024} \approx 44.98$ なので、$3 \leq x \leq 44$ となり、$x$ は $42$ 個あります。

$y=2$ のとき、$6 \leq x \leq \sqrt{2025-4} = \sqrt{2021} \approx 44.95$ なので、$6 \leq x \leq 44$ となり、$x$ は $39$ 個あります。

$y=3$ のとき、$9 \leq x \leq \sqrt{2025-9} = \sqrt{2016} \approx 44.89$ なので、$9 \leq x \leq 44$ となり、$x$ は $36$ 個あります。

$y=4$ のとき、$12 \leq x \leq \sqrt{2025-16} = \sqrt{2009} \approx 44.82$ なので、$12 \leq x \leq 44$ となり、$x$ は $33$ 個あります。

$y=5$ のとき、$15 \leq x \leq \sqrt{2025-25} = \sqrt{2000} \approx 44.72$ なので、$15 \leq x \leq 44$ となり、$x$ は $30$ 個あります。

$y=6$ のとき、$18 \leq x \leq \sqrt{2025-36} = \sqrt{1989} \approx 44.6$ なので、$18 \leq x \leq 44$ となり、$x$ は $27$ 個あります。

$y=7$ のとき、$21 \leq x \leq \sqrt{2025-49} = \sqrt{1976} \approx 44.45$ なので、$21 \leq x \leq 44$ となり、$x$ は $24$ 個あります。

$y=8$ のとき、$24 \leq x \leq \sqrt{2025-64} = \sqrt{1961} \approx 44.28$ なので、$24 \leq x \leq 44$ となり、$x$ は $21$ 個あります。

$y=9$ のとき、$27 \leq x \leq \sqrt{2025-81} = \sqrt{1944} \approx 44.09$ なので、$27 \leq x \leq 44$ となり、$x$ は $18$ 個あります。

$y=10$ のとき、$30 \leq x \leq \sqrt{2025-100} = \sqrt{1925} \approx 43.87$ なので、$30 \leq x \leq 43$ となり、$x$ は $14$ 個あります。

$y=11$ のとき、$33 \leq x \leq \sqrt{2025-121} = \sqrt{1904} \approx 43.63$ なので、$33 \leq x \leq 43$ となり、$x$ は $11$ 個あります。

$y=12$ のとき、$36 \leq x \leq \sqrt{2025-144} = \sqrt{1881} \approx 43.37$ なので、$36 \leq x \leq 43$ となり、$x$ は $8$ 個あります。

$y=13$ のとき、$39 \leq x \leq \sqrt{2025-169} = \sqrt{1856} \approx 43.08$ なので、$39 \leq x \leq 43$ となり、$x$ は $5$ 個あります。

$y=14$ のとき、$42 \leq x \leq \sqrt{2025-196} = \sqrt{1829} \approx 42.76$ なので、$42 \leq x \leq 42$ となり、$x$ は $1$ 個あります。

合計は、$46+42+39+36+33+30+27+24+21+18+14+11+8+5+1 = 355$ 個です。

3. 最終的な答え

355組