$a, b$ は実数とする。次の (1)〜(5) のそれぞれについて、左側の条件が右側の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいは必要条件でも十分条件でもないかを判断し、選択肢の中から適切なものを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。次の (1)〜(5) のそれぞれについて、左側の条件が右側の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいは必要条件でも十分条件でもないかを判断し、選択肢の中から適切なものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

(1) $a+b>0$ かつ $ab>0$ は、$a>0$ かつ $b>0$ であるための条件を考える。

$a>0$ かつ $b>0$ ならば、$a+b>0$ かつ $ab>0$ は明らかに成り立つ。

しかし、$a+b>0$ かつ $ab>0$ であっても、$a>0$ かつ $b>0$ とは限らない。例えば、$a=-1, b=-2$ の場合、$a+b=-3<0$ であるから $a, b$ 両方負になることはない。もし、$a<0$と仮定すると、$b$も負になり、$a+b<0$となり矛盾する。したがって、$a+b>0$かつ$ab>0$であるためには、$a>0$かつ$b>0$が必要である。

したがって、$a+b>0$ かつ $ab>0$ は、$a>0$ かつ $b>0$ であるための必要条件であるが、十分条件ではない。 答えは ①

(2) $a>2$ かつ $b>2$ は、$a+b>4$ かつ $ab>4$ であるための条件を考える。

$a>2$ かつ $b>2$ ならば、$a+b>4$ かつ $ab>4$ は明らかに成り立つ。

逆に、$a+b>4$ かつ $ab>4$ であっても、$a>2$ かつ $b>2$ とは限らない。例えば、$a=1, b=5$ の場合、$a+b=6>4$ かつ $ab=5>4$ を満たすが、$a>2$ ではない。

したがって、$a>2$ かつ $b>2$ は、$a+b>4$ かつ $ab>4$ であるための十分条件であるが、必要条件ではない。答えは ②

(3) $a^2=b^2$ は、$a^4=b^4$ であるための条件を考える。

$a^2=b^2$ ならば、$a^4=b^4$ は明らかに成り立つ。

逆に、$a^4=b^4$ ならば、$a^2=b^2$ も成り立つ。なぜならば、$a^4-b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = 0$ であり、$a, b$ は実数なので、$a^2+b^2=0$ となるには、$a=b=0$である必要があるため、$a^2 = b^2$ が成立する。

したがって、$a^2=b^2$ は、$a^4=b^4$ であるための必要十分条件である。答えは ③

(4) $a>b$ は、$a^2>b^2$ であるための条件を考える。

$a>b$ であっても、$a^2>b^2$ とは限らない。例えば、$a=1, b=-2$ の場合、$a>b$ は成り立つが、$a^2=1, b^2=4$ であるから、$a^2 < b^2$ となる。

逆に、$a^2>b^2$ であっても、$a>b$ とは限らない。例えば、$a=-1, b=0$ の場合、$a^2=1, b^2=0$ であるから、$a^2>b^2$ は成り立つが、$a<b$ となる。

したがって、$a>b$ は、$a^2>b^2$ であるための必要条件でも十分条件でもない。答えは ④

(5) $|a|=|b|$ は、$ab>0$ であるための条件を考える。

$|a|=|b|$ であっても、$ab>0$ とは限らない。例えば、$a=1, b=-1$ の場合、$|a|=1, |b|=1$ であるから、$|a|=|b|$ は成り立つが、$ab=-1<0$ となる。

逆に、$ab>0$ であっても、$|a|=|b|$ とは限らない。もし、$a=1, b=2$なら、$ab=2>0$だが、$|a| \neq |b|$

したがって、$|a|=|b|$ は、$ab>0$ であるための必要条件でも十分条件でもない。答えは ④

3. 最終的な答え

(1) ①

(2) ②

(3) ③

(4) ④

(5) ④