与えられた放物線を、$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動した放物線の方程式を求める問題です。3つの放物線についてそれぞれ計算します。 (1) $y = -x^2$ (2) $y = -x^2 + 4x - 5$ (3) $y = 2x^2 + 4x$

1. 問題の内容

与えられた放物線を、$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動した放物線の方程式を求める問題です。3つの放物線についてそれぞれ計算します。

(1) $y = -x^2$

(2) $y = -x^2 + 4x - 5$

(3) $y = 2x^2 + 4x$

2. 解き方の手順

平行移動の公式を利用します。$x$軸方向に$p$、$y$軸方向に$q$だけ平行移動する場合、$x$を$x-p$、$y$を$y-q$に置き換えます。

(1) $y = -x^2$ を $x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動する場合、

$x$ を $x-1$ に、$y$ を $y-(-2)=y+2$ に置き換えます。

よって、$y+2 = -(x-1)^2$となります。

これを$y=$の形に変形します。

(2) $y = -x^2 + 4x - 5$ を $x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動する場合、

$x$ を $x-1$ に、$y$ を $y-(-2)=y+2$ に置き換えます。

よって、$y+2 = -(x-1)^2 + 4(x-1) - 5$となります。

これを$y=$の形に変形します。

(3) $y = 2x^2 + 4x$ を $x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動する場合、

$x$ を $x-1$ に、$y$ を $y-(-2)=y+2$ に置き換えます。

よって、$y+2 = 2(x-1)^2 + 4(x-1)$となります。

これを$y=$の形に変形します。

以下、それぞれの計算を行います。

(1) $y+2 = -(x-1)^2$

$y+2 = -(x^2 - 2x + 1)$

$y+2 = -x^2 + 2x - 1$

$y = -x^2 + 2x - 3$

(2) $y+2 = -(x-1)^2 + 4(x-1) - 5$

$y+2 = -(x^2 - 2x + 1) + 4x - 4 - 5$

$y+2 = -x^2 + 2x - 1 + 4x - 9$

$y+2 = -x^2 + 6x - 10$

$y = -x^2 + 6x - 12$

(3) $y+2 = 2(x-1)^2 + 4(x-1)$

$y+2 = 2(x^2 - 2x + 1) + 4x - 4$

$y+2 = 2x^2 - 4x + 2 + 4x - 4$

$y+2 = 2x^2 - 2$

$y = 2x^2 - 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 2x - 3$

(2) $y = -x^2 + 6x - 12$

(3) $y = 2x^2 - 4$