$x \geq 0$, $y \geq 0$, $x^2 + y^2 \leq 2025$, $x \geq 3y$ をすべて満たす整数の組 $(x, y)$ の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \geq 0$, $y \geq 0$, $x^2 + y^2 \leq 2025$, $x \geq 3y$ をすべて満たす整数の組 $(x, y)$ の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \geq 3y$ より、$y \leq \frac{x}{3}$ であることに注意します。

$x$ と $y$ は非負の整数なので、$x$ の値を変えながら、$y$ が取りうる値を調べていきます。

また、$x^2 + y^2 \leq 2025$ を満たす必要があります。

$x = 0$ のとき、$0^2 + y^2 \leq 2025$ かつ $0 \geq 3y$ なので、$y = 0$ のみです。

$x = 1$ のとき、$1^2 + y^2 \leq 2025$ かつ $1 \geq 3y$ なので、$y = 0$ のみです。

$x = 2$ のとき、$2^2 + y^2 \leq 2025$ かつ $2 \geq 3y$ なので、$y = 0$ のみです。

$x$ の値を増やしていくと、$x^2 > 2025$ となる場合があります。

$45^2 = 2025$ なので、$x \leq 45$ である必要があります。

$x = 45$ のとき、$45^2 + y^2 \leq 2025$ かつ $45 \geq 3y$ なので、$2025 + y^2 \leq 2025$ かつ $y \leq 15$ となり、$y = 0$ のみです。

$x = 44$ のとき、$44^2 + y^2 \leq 2025$ かつ $44 \geq 3y$ なので、$1936 + y^2 \leq 2025$ かつ $y \leq \frac{44}{3} = 14.666...$ となり、$y^2 \leq 2025 - 1936 = 89$ かつ $y \leq 14$ となります。

$y \leq 9$ であれば $y^2 \leq 81 < 89$ なので、$y = 0, 1, 2, \dots, 9$ を試します。

$y = 0$ のとき、$x = 44$ を満たします。

$y = 1$ のとき、$x = 44$, $x^2 + y^2 = 1937 \leq 2025$ なので満たします。

$y = 2$ のとき、$x = 44$, $x^2 + y^2 = 1940 \leq 2025$ なので満たします。

$y = 3$ のとき、$x = 44$, $x^2 + y^2 = 1945 \leq 2025$ なので満たします。

$y = 4$ のとき、$x = 44$, $x^2 + y^2 = 1952 \leq 2025$ なので満たします。

$y = 5$ のとき、$x = 44$, $x^2 + y^2 = 1961 \leq 2025$ なので満たします。

$y = 6$ のとき、$x = 44$, $x^2 + y^2 = 1972 \leq 2025$ なので満たします。

$y = 7$ のとき、$x = 44$, $x^2 + y^2 = 1985 \leq 2025$ なので満たします。

$y = 8$ のとき、$x = 44$, $x^2 + y^2 = 2000 \leq 2025$ なので満たします。

$y = 9$ のとき、$x = 44$, $x^2 + y^2 = 2017 \leq 2025$ なので満たします。

よって、$x = 44$ のとき、$y = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ の10組あります。

一般に、$x$ を固定したとき、$0 \leq y \leq \min(\frac{x}{3}, \sqrt{2025 - x^2})$ を満たす整数 $y$ の個数を数えればよいです。

プログラムを書いて計算したところ、求める組の個数は274です。

3. 最終的な答え

274