$\alpha^n + \beta^n = C_n$ と定義するとき、$C_{n+2}$, $C_{n+1}$, $C_n$ の間に成立する関係式を求めます。ただし、$\alpha$ と $\beta$ は2次方程式の解であると想定されます。

1. 問題の内容

$\alpha^n + \beta^n = C_n$ と定義するとき、$C_{n+2}$, $C_{n+1}$, $C_n$ の間に成立する関係式を求めます。ただし、$\alpha$ と $\beta$ は2次方程式の解であると想定されます。

2. 解き方の手順

$\alpha$ と $\beta$ が 2次方程式 $x^2 - px - q = 0$ の解であると仮定します。

このとき、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = p$

$\alpha\beta = -q$

が成り立ちます。

$\alpha$ と $\beta$ は $x^2 = px + q$ を満たすので、

$\alpha^2 = p\alpha + q$

$\beta^2 = p\beta + q$

が成り立ちます。

これらを用いて $\alpha^{n+2}$ と $\beta^{n+2}$ を変形します。

$\alpha^{n+2} = p\alpha^{n+1} + q\alpha^n$

$\beta^{n+2} = p\beta^{n+1} + q\beta^n$

これらの式を足し合わせると

$\alpha^{n+2} + \beta^{n+2} = p(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) + q(\alpha^n + \beta^n)$

となります。

定義より、$C_{n+2} = \alpha^{n+2} + \beta^{n+2}$, $C_{n+1} = \alpha^{n+1} + \beta^{n+1}$, $C_n = \alpha^n + \beta^n$ なので、

$C_{n+2} = pC_{n+1} + qC_n$

となります。したがって、

$C_{n+2} - pC_{n+1} - qC_n = 0$

という関係式が得られます。

$p = \alpha + \beta$

$q = -\alpha\beta$

なので、

$C_{n+2} = (\alpha + \beta) C_{n+1} - \alpha\beta C_n$

3. 最終的な答え

$C_{n+2} = (\alpha + \beta)C_{n+1} - \alpha\beta C_n$

または

$C_{n+2} = pC_{n+1} + qC_n$

または

$C_{n+2} - pC_{n+1} - qC_n = 0$

ただし、$\alpha$ と $\beta$ は $x^2 - px - q = 0$ の解。

または

$C_{n+2} - (\alpha + \beta)C_{n+1} + (\alpha\beta)C_n = 0$