実数 $x$ について、条件 $p: x < 3$ と $q: x < -2$ が与えられている。命題 $p \implies q$ の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる。

1. 問題の内容

実数 $x$ について、条件 $p: x < 3$ と $q: x < -2$ が与えられている。命題 $p \implies q$ の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる。

2. 解き方の手順

命題 $p \implies q$ が真であるとは、$p$を満たす全ての $x$ が $q$ を満たすということである。集合を用いて考えると、$p$を満たす $x$ の集合を $P$、$q$を満たす $x$ の集合を $Q$ とすると、$P \subseteq Q$ が成り立つときに命題 $p \implies q$ は真となる。

$P = \{x | x < 3\}$

$Q = \{x | x < -2\}$

数直線で考えると、$P$ は3より小さいすべての実数、$Q$ は-2より小さいすべての実数である。明らかに、$P \subseteq Q$ は成り立たない。例えば、$x = 0$ は $x < 3$ を満たすが、$x < -2$ は満たさない。

したがって、命題 $p \implies q$ は偽である。

反例：$x = 0$ は $p: x < 3$ を満たすが、$q: x < -2$ を満たさない。

3. 最終的な答え

偽。反例：$x = 0$