二次方程式 $x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = -1$ で表される曲線の概形を描き、焦点の座標を求める。

1. 問題の内容

二次方程式 $x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = -1$ で表される曲線の概形を描き、焦点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次形式を標準形に変形する。

$x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = -1$

を、行列を用いて表現すると、

$\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = -1$

となる。行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ の固有値を求める。

固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ より、

$(1-\lambda)^2 - 4 = 0$

$\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$

$(\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = -1$ である。

固有値に対応する固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 3$ のとき、

$\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

より、$-2v_1 + 2v_2 = 0$, $v_1 = v_2$. よって、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。正規化すると $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。

$\lambda_2 = -1$ のとき、

$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

より、$2v_1 + 2v_2 = 0$, $v_1 = -v_2$. よって、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となる。正規化すると $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となる。

したがって、直交行列 $P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ を用いて、$x = Py$ と変換すると、

$x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 = 3y_1^2 - y_2^2 = -1$

となる。

$y_2^2 - 3y_1^2 = 1$

これは双曲線を表す。

双曲線の標準形は $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ である。

この問題の場合、$a^2 = 1$, $b^2 = \frac{1}{3}$ なので、$a=1$, $b = \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

焦点の座標は $(0, \pm c)$ であり、$c^2 = a^2 + b^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ より、$c = \frac{2}{\sqrt{3}}$

したがって、焦点の座標は $(0, \pm \frac{2}{\sqrt{3}})$ である。これは $y_1y_2$ 座標系での座標なので、$x_1x_2$ 座標系に変換する。

$y = P^T x$ なので、$x = Py$ である。焦点の座標を $(0, \pm \frac{2}{\sqrt{3}})$ とすると、$y_1 = 0, y_2 = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ である。

$x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} (y_1 + y_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

$x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} (y_1 - y_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 \mp \frac{2}{\sqrt{3}}) = \mp \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \mp \sqrt{\frac{2}{3}}$

したがって、焦点の座標は $(\sqrt{\frac{2}{3}}, -\sqrt{\frac{2}{3}})$ と $(-\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}})$ である。

3. 最終的な答え

焦点の座標は $(\sqrt{\frac{2}{3}}, -\sqrt{\frac{2}{3}}), (-\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}})$ である。