複素数 $(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))^5$ を計算して、結果を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))^5$ を計算して、結果を求めよ。

2. 解き方の手順

ド・モアブルの定理を用いて、複素数のべき乗を計算します。ド・モアブルの定理は、任意の整数 $n$ に対して、次の式が成り立つことを述べています。

$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$

この問題では、$\theta = \frac{\pi}{6}$ であり、$n = 5$ です。したがって、

$(\cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}))^5 = \cos(5 \cdot \frac{\pi}{6}) + i \sin(5 \cdot \frac{\pi}{6})$

$= \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6})$

$\frac{5\pi}{6}$ は第2象限の角度であり、$\sin$ は正、$\cos$ は負です。

$\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$ であるため、

$\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

したがって、

$\cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$