2つの方程式 $x^2 + (a+1)x + a^2 = 0$ と $x^2 + 2ax + 2a = 0$ がともに実数解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの方程式 $x^2 + (a+1)x + a^2 = 0$ と $x^2 + 2ax + 2a = 0$ がともに実数解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D \ge 0$ となることです。それぞれの方程式について判別式を計算し、その条件から $a$ の範囲を求めます。

(1) $x^2 + (a+1)x + a^2 = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (a+1)^2 - 4(1)(a^2) = a^2 + 2a + 1 - 4a^2 = -3a^2 + 2a + 1$

$D_1 \ge 0$ となるためには、 $-3a^2 + 2a + 1 \ge 0$ を解きます。

両辺に -1 をかけて不等号の向きを変えます。

$3a^2 - 2a - 1 \le 0$

$(3a + 1)(a - 1) \le 0$

したがって、 $-\frac{1}{3} \le a \le 1$

(2) $x^2 + 2ax + 2a = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (2a)^2 - 4(1)(2a) = 4a^2 - 8a$

$D_2 \ge 0$ となるためには、$4a^2 - 8a \ge 0$ を解きます。

$4a(a - 2) \ge 0$

したがって、$a \le 0$ または $a \ge 2$

(1) と (2) の両方を満たす $a$ の範囲を求めます。

$-\frac{1}{3} \le a \le 1$ かつ ($a \le 0$ または $a \ge 2$)

したがって、$-\frac{1}{3} \le a \le 0$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3} \le a \le 0$