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2次不等式 $ax^2 + 9x + 2b > 0$ の解が $4 < x < 5$ となるような定数 $a, b$ の値を求めます。

代数学二次不等式解の範囲係数比較連立方程式
2025/6/23
## 問題13

1. 問題の内容

2次不等式 ax2+9x+2b>0ax^2 + 9x + 2b > 0 の解が 4<x<54 < x < 5 となるような定数 a,ba, b の値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた条件から、ax2+9x+2b=0ax^2 + 9x + 2b = 0 の2つの解が x=4x=4 と x=5x=5 であることがわかります。
したがって、ax2+9x+2b=a(x−4)(x−5)ax^2 + 9x + 2b = a(x-4)(x-5) と書けます。
展開すると a(x2−9x+20)=ax2−9ax+20aa(x^2 - 9x + 20) = ax^2 - 9ax + 20a となります。
係数を比較すると、以下の連立方程式を得ます。
9=−9a9 = -9a
2b=20a2b = 20a
最初の式より、a=−1a = -1 が得られます。
これを2番目の式に代入すると、2b=20(−1)2b = 20(-1) より、2b=−202b = -20 となり、b=−10b = -10 が得られます。
a=−1a = -1 のとき、不等式は −x2+9x−20>0-x^2 + 9x - 20 > 0 となり、両辺に −1-1 をかけると x2−9x+20<0x^2 - 9x + 20 < 0 となります。
(x−4)(x−5)<0(x-4)(x-5) < 0 なので、4<x<54 < x < 5 となり、条件を満たします。

3. 最終的な答え

a=−1a = -1
b=−10b = -10

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