3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 54 = 0$ が $x = -2$ と $x = 3$ を解に持つとき、定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 54 = 0$ が $x = -2$ と $x = 3$ を解に持つとき、定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = -2$ と $x = 3$ を解に持つことから、方程式に代入して、$a$ と $b$ に関する連立方程式を作ります。

$x = -2$ を代入すると、

$(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 54 = 0$

$-8 + 4a - 2b - 54 = 0$

$4a - 2b = 62$

$2a - b = 31$ ...(1)

$x = 3$ を代入すると、

$(3)^3 + a(3)^2 + b(3) - 54 = 0$

$27 + 9a + 3b - 54 = 0$

$9a + 3b = 27$

$3a + b = 9$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解きます。

(1) + (2)より、

$2a - b + 3a + b = 31 + 9$

$5a = 40$

$a = 8$

(2)に $a = 8$ を代入すると、

$3(8) + b = 9$

$24 + b = 9$

$b = -15$

よって、$a = 8$, $b = -15$ です。

方程式は $x^3 + 8x^2 - 15x - 54 = 0$ となります。

$x = -2$ と $x = 3$ を解に持つので、$(x + 2)(x - 3)$ で割り切れるはずです。

$(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$

$x^3 + 8x^2 - 15x - 54$ を $x^2 - x - 6$ で割ると、

$x^3 + 8x^2 - 15x - 54 = (x^2 - x - 6)(x + 9)$

よって、$(x + 2)(x - 3)(x + 9) = 0$

したがって、他の解は $x = -9$ です。

3. 最終的な答え

$a = 8$

$b = -15$

他の解: $-9$