3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ が $1$ と $-4$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ が $1$ と $-4$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式に $x=1$ と $x=-4$ を代入して、 $a$ と $b$ に関する連立方程式を作る。

$x=1$ を代入すると、

$1^3 + a(1)^2 + b(1) - 20 = 0$

$1 + a + b - 20 = 0$

$a + b = 19$

$x=-4$ を代入すると、

$(-4)^3 + a(-4)^2 + b(-4) - 20 = 0$

$-64 + 16a - 4b - 20 = 0$

$16a - 4b = 84$

$4a - b = 21$

上記の2つの式を連立方程式として解く。

$a + b = 19$

$4a - b = 21$

2つの式を足し合わせると、

$5a = 40$

$a = 8$

$a = 8$ を $a + b = 19$ に代入すると、

$8 + b = 19$

$b = 11$

したがって、$a = 8$ , $b = 11$ となる。

3次方程式は $x^3 + 8x^2 + 11x - 20 = 0$ となる。

$x=1$ と $x=-4$ が解なので、$(x-1)$ と $(x+4)$ を因数に持つ。

$(x-1)(x+4) = x^2 + 3x - 4$

$x^3 + 8x^2 + 11x - 20$ を $x^2 + 3x - 4$ で割る。

$x^3 + 8x^2 + 11x - 20 = (x^2 + 3x - 4)(x+5)$

したがって、$(x-1)(x+4)(x+5) = 0$ となる。

解は $x=1, -4, -5$。

したがって、他の解は $x=-5$ となる。

3. 最終的な答え

$a = 8$

$b = 11$

他の解: $-5$