3次方程式 $x^3 + ax^2 + x + b = 0$ が $2+i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + x + b = 0$ が $2+i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

* $2+i$ が解なので、$2-i$ も解です。なぜなら、係数が全て実数であるため、複素数解は共役な複素数も解になるからです。

* 3つの解を $\alpha$, $2+i$, $2-i$ とすると、解と係数の関係から、以下の式が成り立ちます。

* $\alpha + (2+i) + (2-i) = -a$

* $\alpha(2+i) + \alpha(2-i) + (2+i)(2-i) = 1$

* $\alpha(2+i)(2-i) = -b$

* これらの式を整理すると以下のようになります。

* $\alpha + 4 = -a$

* $2\alpha + \alpha i + 2\alpha - \alpha i + 4 - 2i + 2i - i^2 = 1$

* $5\alpha = -b$

* 2つ目の式をさらに整理します。

$4\alpha + 4 - (-1) = 1$

$4\alpha + 5 = 1$

$4\alpha = -4$

$\alpha = -1$

* $\alpha = -1$ を1つ目の式に代入すると、$-1 + 4 = -a$ より、$a = -3$

* $\alpha = -1$ を3つ目の式に代入すると、$5(-1) = -b$ より、$b = 5$

* したがって、$a = -3$, $b = 5$, 他の解は $-1$

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = 5$, 他の解: $-1$