3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ が解 $1-2i$ を持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ が解 $1-2i$ を持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

解が複素数であることから、共役な複素数 $1+2i$ も解となります。

3次方程式なので、もう一つの解を $\alpha$ と置くと、解と係数の関係から以下の式が成り立ちます。

解の和： $(1-2i) + (1+2i) + \alpha = -a$

解の積の和： $(1-2i)(1+2i) + (1-2i)\alpha + (1+2i)\alpha = b$

解の積： $(1-2i)(1+2i)\alpha = 20$

まず、解の積の式から$\alpha$を求めます。

$(1-2i)(1+2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - (-4) = 5$

よって、$5\alpha = 20$ より、 $\alpha = 4$

次に、解の和の式から $a$ を求めます。

$(1-2i) + (1+2i) + 4 = 2 + 4 = 6$

$6 = -a$ より、$a = -6$

最後に、解の積の和の式から $b$ を求めます。

$(1-2i)(1+2i) + (1-2i)4 + (1+2i)4 = 5 + 4 - 8i + 4 + 8i = 5 + 8 = 13$

$13 = b$ より、$b = 13$

3. 最終的な答え

$a = -6$

$b = 13$

他の解: $4, 1+2i$