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問題は、与えられた連立一次方程式の解空間 $W$ の次元と基底を求めるというものです。$W$ は $\mathbb{R}^5$ の部分空間であり、 (1) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} x = 0$ (2) $\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix} x = 0$ の解空間として定義されています。

代数学線形代数連立一次方程式解空間次元基底行列の簡約化
2025/6/23

1. 問題の内容

問題は、与えられた連立一次方程式の解空間 WW の次元と基底を求めるというものです。WW は R5\mathbb{R}^5 の部分空間であり、
(1) [111111−1102212−15]x=0\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} x = 0
(2) [20−1341231−5314−710]x=0\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix} x = 0
の解空間として定義されています。

2. 解き方の手順

(1)
与えられた行列を簡約化します。
[111111−1102212−15]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}
まず2行目から1行目を引きます。また3行目から1行目の2倍を引きます。
[111110−20−110−10−33]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}
次に3行目を2倍して、2行目を引きます。
[111110−20−11000−55]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 5 \end{bmatrix}
3行目を-5で割ります。
[111110−20−110001−1]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}
2行目に3行目を足します。
[111110−20000001−1]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}
2行目を-2で割ります。
[11111010000001−1]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}
1行目から2行目を引きます。
[10111010000001−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}
1行目から3行目を引きます。
[10102010000001−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}
簡約化された行列は
[10102010000001−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}
です。
x1+x3+2x5=0x_1 + x_3 + 2x_5 = 0,
x2=0x_2 = 0,
x4−x5=0x_4 - x_5 = 0.
x1=−x3−2x5x_1 = -x_3 - 2x_5, x2=0x_2 = 0, x4=x5x_4 = x_5.
x=[x1x2x3x4x5]=x3[−10100]+x5[−20011]x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}.
よって、基底は [−10100],[−20011]\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} であり、次元は 2 です。
(2)
[20−1341231−5314−710]\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}
1行目と2行目を入れ替えます。
[1231−520−134314−710]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}
2行目から1行目の2倍を引きます。また3行目から1行目の3倍を引きます。
[1231−50−4−71140−5−5−1025]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \\ 0 & -5 & -5 & -10 & 25 \end{bmatrix}
2行目を-4で割ります。
[1231−50174−14−720−5−5−1025]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & \frac{7}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{7}{2} \\ 0 & -5 & -5 & -10 & 25 \end{bmatrix}
3行目に2行目の5倍を足します。
[1231−50174−14−7200154−454−152]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & \frac{7}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{7}{2} \\ 0 & 0 & \frac{15}{4} & -\frac{45}{4} & -\frac{15}{2} \end{bmatrix}
3行目を154\frac{15}{4}で割ります。
[1231−50174−14−72001−3−2]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & \frac{7}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{7}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -3 & -2 \end{bmatrix}
2行目から3行目の74\frac{7}{4}倍を引きます。
[1231−5010520001−3−2]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & -2 \end{bmatrix}
1行目から3行目の3倍を引きます。
[120101010520001−3−2]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 10 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & -2 \end{bmatrix}
1行目から2行目の2倍を引きます。
[10051010520001−3−2]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & -2 \end{bmatrix}
簡約化された行列は
[10051010520001−3−2]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & -2 \end{bmatrix}
です。
x1+5x4+x5=0x_1 + 5x_4 + x_5 = 0,
x2+52x4=0x_2 + \frac{5}{2}x_4 = 0,
x3−3x4−2x5=0x_3 - 3x_4 - 2x_5 = 0.
x1=−5x4−x5x_1 = -5x_4 - x_5, x2=−52x4x_2 = -\frac{5}{2}x_4, x3=3x4+2x5x_3 = 3x_4 + 2x_5.
x=[x1x2x3x4x5]=x4[−5−52310]+x5[−10201]x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_4 \begin{bmatrix} -5 \\ -\frac{5}{2} \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.
よって、基底は [−5−52310],[−10201]\begin{bmatrix} -5 \\ -\frac{5}{2} \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} であり、次元は 2 です。

3. 最終的な答え

(1) 次元: 2, 基底: [−10100],[−20011]\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}
(2) 次元: 2, 基底: [−5−52310],[−10201]\begin{bmatrix} -5 \\ -\frac{5}{2} \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

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