2次関数 $y = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 3$ について、グラフがどのように平行移動されたかを明らかにし、空欄を埋め、グラフの特徴を記述しなさい。

1. 問題の内容

2次関数 $y = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 3$ について、グラフがどのように平行移動されたかを明らかにし、空欄を埋め、グラフの特徴を記述しなさい。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数 $y = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 3$ は、基本形 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフを平行移動したものです。

平方完成された式から、頂点の座標と軸の方程式を読み取ります。

* $x$軸方向への平行移動：$(x+4)$ の形から、$y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフを$x$軸方向に$-4$だけ平行移動したことがわかります。

* $y$軸方向への平行移動：$-3$ の形から、$y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフを$y$軸方向に$-3$だけ平行移動したことがわかります。

* 頂点の座標：平行移動後の頂点の座標は$(-4, -3)$です。

* 軸の方程式：軸は$x = -4$です。

* グラフの形状：$x^2$ の係数が $\frac{1}{2}$ で正であるため、グラフは下に凸の放物線です。

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 3$ のグラフは $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフを、$x$軸方向に $-4$、$y$軸方向に $-3$ だけ平行移動したものである。頂点は $(-4, -3)$であり、軸は直線 $x = -4$ である。下に凸の放物線をえがく。