与えられた3つの等式が成立することを証明します。 (1) $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ (2) $3(a^2 + b^2 + c^2) - (a+b+c)^2 = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$ (3) $a+b+c = 0$ のとき、 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc = 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの等式が成立することを証明します。

(1) $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$

(2) $3(a^2 + b^2 + c^2) - (a+b+c)^2 = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$

(3) $a+b+c = 0$ のとき、 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc = 0$

2. 解き方の手順

(1) 左辺を展開して整理し、右辺と一致することを示します。

(2) 左辺と右辺をそれぞれ展開して整理し、両者が一致することを示します。

(3) 条件 $a+b+c=0$ を利用して、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を変形し、0になることを示します。

(1) の手順

左辺を展開します。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

よって、

$(a+b)^2 + (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)$

これは右辺と一致します。

(2) の手順

左辺を展開します。

$3(a^2 + b^2 + c^2) - (a+b+c)^2 = 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca$

右辺を展開します。

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca$

左辺と右辺が一致します。

(3) の手順

$a+b+c = 0$ より、$a+b = -c$, $b+c = -a$, $c+a = -b$ です。

よって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (-c)(-a)(-b) + abc = -abc + abc = 0$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ は成立する。

(2) $3(a^2 + b^2 + c^2) - (a+b+c)^2 = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$ は成立する。

(3) $a+b+c = 0$ のとき、 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc = 0$ は成立する。