与えられた二次関数 $y = -x^2 + 14x - 50$ について、定義域 $7 \le x \le 10$ における最大値と最小値を求めよ。また、二次関数の式を平方完成の形に変形せよ。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = -x^2 + 14x - 50$ について、定義域 $7 \le x \le 10$ における最大値と最小値を求めよ。また、二次関数の式を平方完成の形に変形せよ。

2. 解き方の手順

まず、二次関数の式を平方完成する。

$y = -x^2 + 14x - 50$

$y = -(x^2 - 14x) - 50$

$y = -(x^2 - 14x + 49 - 49) - 50$

$y = -((x - 7)^2 - 49) - 50$

$y = -(x - 7)^2 + 49 - 50$

$y = -(x - 7)^2 - 1$

平方完成された式は $y = -(x - 7)^2 - 1$ である。

この式から、この二次関数のグラフは、頂点が $(7, -1)$ であり、上に凸の放物線であることがわかる。

次に、定義域 $7 \le x \le 10$ における最大値と最小値を考える。

頂点の $x$ 座標は $x = 7$ であり、これは定義域に含まれる。したがって、$x = 7$ のとき、最大値をとる。

最大値は $y = -(7 - 7)^2 - 1 = -1$ である。

$x = 10$ のとき、$y = -(10 - 7)^2 - 1 = -3^2 - 1 = -9 - 1 = -10$ である。

定義域の端点の値 $x=10$ のときの $y$ の値は$-10$。

$x$ が $7$ から $10$ に増加するにつれて、$y$ の値は減少するので、$x = 10$ のときに最小値をとる。

最小値は $y = -10$ である。

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 14x - 50 = -(x^2 - 14x) - 50 = -(x - 7)^2 - 1$

$x = 7$ のとき、最大値 $-1$

$x = 10$ のとき、最小値 $-10$