$\sqrt{20-4n}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{20-4n}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{20-4n}$ が自然数となるためには、$20-4n$ が0以上の平方数である必要があります。つまり、$20-4n = k^2$ （$k$ は0以上の整数）となる必要があります。

$20-4n = k^2$ を $n$ について解くと、

$4n = 20-k^2$

$n = \frac{20-k^2}{4}$

$n$ は自然数である必要があるので、$\frac{20-k^2}{4}$ は自然数である必要があります。

つまり、$20-k^2$ は4の倍数である必要があります。

また、$20-k^2 > 0$ である必要があります。よって、$k^2 < 20$ であり、$k$ の候補は $0, 1, 2, 3, 4$ となります。

それぞれの $k$ について、$n$ を計算してみましょう。

* $k=0$ のとき: $n = \frac{20-0^2}{4} = \frac{20}{4} = 5$

* $k=1$ のとき: $n = \frac{20-1^2}{4} = \frac{19}{4}$ これは整数ではないので不適。

* $k=2$ のとき: $n = \frac{20-2^2}{4} = \frac{16}{4} = 4$

* $k=3$ のとき: $n = \frac{20-3^2}{4} = \frac{11}{4}$ これは整数ではないので不適。

* $k=4$ のとき: $n = \frac{20-4^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$

したがって、$n$ の値は、$5, 4, 1$ となります。

3. 最終的な答え

$n = 1, 4, 5$