与えられた4つの行列をそれぞれ階段行列に変形せよ。行の変形過程を記述すること。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列をそれぞれ階段行列に変形せよ。行の変形過程を記述すること。

2. 解き方の手順

(1) の行列について：

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 4 & -2 & -2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

1行目に-1をかける:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 4 & -2 & -2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

2行目に1行目の-4倍を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & 10 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に1行目の-3倍を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の-1倍を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

2行目を1/2倍する:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(2) の行列について：

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 13 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 3 & 2 & 13 \\ 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

2行目に1行目の-3倍を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 8 & 16 \\ 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

3行目に1行目の-2倍を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 8 & 16 \\ 0 & 5 & 10 \end{pmatrix}$

2行目を1/8倍する:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の-5倍を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(3) の行列について：

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ -2 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \\ -2 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に1行目の2倍を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 6 & 3 \end{pmatrix}$

2行目を1/2倍する:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 6 & 3 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の-3倍を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(4) の行列について：

$\begin{pmatrix} 2 & 6 & -3 & -12 & -1 \\ 1 & 3 & -2 & -7 & -1 \\ 3 & 9 & -3 & -14 & -1 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える:

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & -7 & -1 \\ 2 & 6 & -3 & -12 & -1 \\ 3 & 9 & -3 & -14 & -1 \end{pmatrix}$

2行目に1行目の-2倍を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & -7 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 9 & -3 & -14 & -1 \end{pmatrix}$

3行目に1行目の-3倍を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & -7 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 7 & 2 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の-3倍を加える:

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & -7 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & -7 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$