集合 $A = \{x \mid 0 < x < 6\}$、集合 $B = \{x \mid x < -2, 2 < x\}$、集合 $C = \overline{A} \cup \overline{B}$ が与えられたとき、集合 $C$ および $A \cap C$ を求める問題です。

1. 問題の内容

集合 $A = \{x \mid 0 < x < 6\}$、集合 $B = \{x \mid x < -2, 2 < x\}$、集合 $C = \overline{A} \cup \overline{B}$ が与えられたとき、集合 $C$ および $A \cap C$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求めます。

$\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、

$\overline{A} = \{x \mid x \le 0, 6 \le x\}$

$\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、

$\overline{B} = \{x \mid -2 \le x \le 2\}$

次に、$C = \overline{A} \cup \overline{B}$ を求めます。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{x \mid x \le 0, 6 \le x\} \cup \{x \mid -2 \le x \le 2\} = \{x \mid x \le 2, 6 \le x\}$

したがって、 $C = \{x \mid x \le 2, 6 \le x\}$

最後に、$A \cap C$ を求めます。

$A \cap C = \{x \mid 0 < x < 6\} \cap \{x \mid x \le 2, 6 \le x\}$

$\{x \mid 0 < x < 6\}$ と $\{x \mid x \le 2\}$ の共通部分は $\{x \mid 0 < x \le 2\}$ です。

$\{x \mid 0 < x < 6\}$ と $\{x \mid 6 \le x\}$ の共通部分は空集合 $\emptyset$ です。

したがって、

$A \cap C = \{x \mid 0 < x \le 2\}$

3. 最終的な答え

$C = \{x \mid x \le 2, 6 \le x\}$

$A \cap C = \{x \mid 0 < x \le 2\}$